连续函数空间中点列的按距离收敛是()A. 一致收敛B. 按坐标收敛C. 逐点收敛D. 其余三项都不对

本题考查连续函数空间中点列按距离收敛的相关知识。解题的关键在于明确连续函数空间中距离的定义，以及按距离收敛与一致收敛、按坐标收敛、逐点收敛之间的关系。

设$C(X)$是定义在集合$X$上的连续函数空间，对于$C(X)$中的两个函数$f,g$，定义它们之间的距离为$d(f,g)=\sup_{x\in X}|f(x) - g(x)|$。

下面分析点列$\{f_n\}$按距离收敛与其他收敛方式的关系：

• 按距离收敛：若$\{f_n\}$是$C(X)$中的点列，$f\in C(X)$，当$\lim_{n\rightarrow\infty}d(f_n,f)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)| = 0$时，称点列$\{f_n\}$按距离收敛于$f$。
• 一致收敛：根据一致收敛的定义，函数列$\{f_n(x)\}$在集合$X$上一致收敛于$f(x)$的充要条件是$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)| = 0$。这与连续函数空间中点列按距离收敛的定义是完全一致的。
• 按坐标收敛：按坐标收敛通常是在向量空间中，对于向量的每个分量分别收敛。在连续函数空间中，函数可以看作是无穷维向量，按坐标收敛意味着对于定义域中的每个点$x$，函数值序列$\{f_n(x)\}$收敛，但这并不等同于$\sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)|$收敛到$0$。
• 逐点收敛：逐点收敛是指对于定义域$X$中的每一个点$x$，都有$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$。逐点收敛只保证了在每个点上函数值的收敛，不能保证在整个定义域上的收敛速度是一致的，即不能保证$\sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)|$收敛到$0$。

综上，连续函数空间中点列的按距离收敛是一致收敛。