题目
设随机变量X～B(100，0.2)，应用中心极限定理可得P(X≥30)≈____．(已知Φ(2．5)=0.9938)
设随机变量X～B(100，0.2)，应用中心极限定理可得P{X≥30}≈____．(已知Φ(2．5)=0.9938)
题目解答
答案
0．0062。解析：∵X～B(100，0.2)∴E(X)=20D(X)=16∴P{X≥30}=1-P{X﹤30}=1-P{(X-20)/4﹤(30-20)/4}≈1-Φ[(30-20)/4]=1-Φ（2.5）=0.0062
解析
步骤 1：确定随机变量X的期望和方差
由于X～B(100，0.2)，根据二项分布的性质，我们有：
E(X) = np = 100 * 0.2 = 20
D(X) = np(1-p) = 100 * 0.2 * (1 - 0.2) = 16
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，我们可以将X近似为正态分布N(20, 16)。为了计算P{X≥30}，我们需要将X标准化为标准正态分布Z，即：
Z = (X - E(X)) / sqrt(D(X)) = (X - 20) / sqrt(16) = (X - 20) / 4
步骤 3：计算P{X≥30}的近似值
P{X≥30} = P{(X - 20) / 4 ≥ (30 - 20) / 4} = P{Z ≥ 2.5}
根据标准正态分布表，已知Φ(2.5) = 0.9938，因此：
P{Z ≥ 2.5} = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
由于X～B(100，0.2)，根据二项分布的性质，我们有：
E(X) = np = 100 * 0.2 = 20
D(X) = np(1-p) = 100 * 0.2 * (1 - 0.2) = 16
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，我们可以将X近似为正态分布N(20, 16)。为了计算P{X≥30}，我们需要将X标准化为标准正态分布Z，即：
Z = (X - E(X)) / sqrt(D(X)) = (X - 20) / sqrt(16) = (X - 20) / 4
步骤 3：计算P{X≥30}的近似值
P{X≥30} = P{(X - 20) / 4 ≥ (30 - 20) / 4} = P{Z ≥ 2.5}
根据标准正态分布表，已知Φ(2.5) = 0.9938，因此：
P{Z ≥ 2.5} = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062