4.3 某电商6月份各天的销售额数据(单位:万元)如下:-|||-257 276 297 252 238 310 240 236 265 278-|||-271 292 261 281 301 274 267 280 291 258-|||-272 284 268 303 273 263 322 249 269 295-|||-(1)计算该电商日销售额的平均数和中位数。-|||-(2)计算四分位数。-|||-(3)计算日销售额的标准差。

考查要点：本题主要考查数据整理与描述性统计量的计算，包括平均数、中位数、四分位数和标准差的计算方法。

解题思路：

1. 平均数：所有数据之和除以数据个数。
2. 中位数：需先对数据排序，若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均值。
3. 四分位数：需排序后，通过位置公式计算下四分位数（25%位）和上四分位数（75%位），注意插值计算。
4. 标准差：计算每个数据与平均数的差的平方的平均值（样本方差），再开平方。

关键点：

• 数据排序是计算中位数、四分位数的前提。
• 四分位数的位置公式为：$Q_{25\%}$位置 $\frac{n+1}{4}$，$Q_{75\%}$位置 $\frac{3(n+1)}{4}$。
• 标准差采用样本标准差公式，分母为$n-1$。

(1) 平均数和中位数

计算平均数

$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{30} x_i}{30} = \frac{8223}{30} = 274.1$

计算中位数

1. 排序数据：将30个数据从小到大排列。
2. 确定中位数位置：
   $\text{中位数位置} = \frac{30+1}{2} = 15.5$
3. 取第15和第16个数的平均值：
   排序后第15个数为$272$，第16个数为$273$，故中位数为：
   $M = \frac{272 + 273}{2} = 272.5$

(2) 四分位数

下四分位数（$Q_{25\%}$）

1. 确定位置：
   $\text{位置} = \frac{30+1}{4} = 7.75$
2. 插值计算：
   第7个数为$258$，第8个数为$261$，故：
   $Q_{25\%} = 258 + 0.75 \times (261 - 258) = 260.25$

上四分位数（$Q_{75\%}$）

1. 确定位置：
   $\text{位置} = \frac{3 \times (30+1)}{4} = 23.25$
2. 插值计算：
   第23个数为$291$，第24个数为$291$，故：
   $Q_{75\%} = 291 + 0.25 \times (291 - 291) = 291.25$

(3) 标准差

1. 计算每个数据与平均数的差的平方和：
   $\sum_{i=1}^{30} (x_i - \overline{x})^2 = 13002.7$
2. 计算样本标准差：
   $s = \sqrt{\frac{13002.7}{30-1}} = \sqrt{\frac{13002.7}{29}} \approx 21.17$