题目
3、设随机变量 X 和Y 相互独立,且X~N(3 , 4),Y~N(2, 9),则Z=3X−Y~( )A. N(7 , 21)B. N(7 , 27)C. N(7 , 45)D. N(11, 45)
3、设随机变量 X 和Y 相互独立,且X~N(3 , 4),Y~N(2, 9),则Z=3X−Y~( )
A. N(7 , 21)
B. N(7 , 27)
C. N(7 , 45)
D. N(11, 45)
题目解答
答案
C. N(7 , 45)
解析
步骤 1：计算Z的期望值
由于X和Y是相互独立的随机变量，且X~N(3, 4), Y~N(2, 9)，则Z=3X−Y的期望值E(Z)可以通过线性变换的期望值公式计算，即E(Z) = E(3X−Y) = 3E(X)−E(Y)。根据题目给出的期望值，E(X) = 3, E(Y) = 2，因此E(Z) = 3×3−2 = 7。
步骤 2：计算Z的方差
Z=3X−Y的方差D(Z)可以通过线性变换的方差公式计算，即D(Z) = D(3X−Y) = 9D(X)+D(Y)。根据题目给出的方差，D(X) = 4, D(Y) = 9，因此D(Z) = 9×4+9 = 45。
步骤 3：确定Z的分布
由于X和Y都是正态分布，且它们相互独立，因此Z=3X−Y也是正态分布。根据步骤1和步骤2的计算结果，Z的期望值为7，方差为45，因此Z~N(7, 45)。
由于X和Y是相互独立的随机变量，且X~N(3, 4), Y~N(2, 9)，则Z=3X−Y的期望值E(Z)可以通过线性变换的期望值公式计算，即E(Z) = E(3X−Y) = 3E(X)−E(Y)。根据题目给出的期望值，E(X) = 3, E(Y) = 2，因此E(Z) = 3×3−2 = 7。
步骤 2：计算Z的方差
Z=3X−Y的方差D(Z)可以通过线性变换的方差公式计算，即D(Z) = D(3X−Y) = 9D(X)+D(Y)。根据题目给出的方差，D(X) = 4, D(Y) = 9，因此D(Z) = 9×4+9 = 45。
步骤 3：确定Z的分布
由于X和Y都是正态分布，且它们相互独立，因此Z=3X−Y也是正态分布。根据步骤1和步骤2的计算结果，Z的期望值为7，方差为45，因此Z~N(7, 45)。