题目

求矩阵X=(A)^2+x-E 其中A= 0 2 0-|||-1 0 1)-|||-1 0

求矩阵X

题目解答

答案

解析

本题考查矩阵的运算，包括矩阵的乘法、加减法、逆矩阵的求解等知识。解题的关键思路是先根据已知等式推导出矩阵$X$的表达式，再分别计算出$A^2$、$A^2 - E$、$A - E$以及$(A - E)^{-1}$，最后通过矩阵乘法求出$X$。

  1. 推导矩阵$X$的表达式：
    已知$AX = A^2 + X - E$，将含有$X$的项移到等式一边可得：
    $AX - X = A^2 - E$
    根据矩阵乘法分配律，可进一步化为$X(A - E) = A^2 - E$。
    因为要求$X$，所以在等式两边同时左乘$(A - E)^{-1}$（前提是$A - E$可逆），得到$X = (A - E)^{-1}(A^2 - E)$。
  2. 计算$A^2$：
    已知$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}$，根据矩阵乘法规则$C_{ij}=\sum_{k = 1}^{n}A_{ik}B_{kj}$，计算$A^2 = A\times A$：
    $\begin{align*} A^2&=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1\times1 + 0\times0 + 1\times1&1\times0 + 0\times2 + 1\times0&1\times1 + 0\times0 + 1\times1\\0\times1 + 2\times0 + 0\times1&0\times0 + 2\times2 + 0\times0&0\times1 + 2\times0 + 0\times1\\1\times1 + 0\times0 + 1\times1&1\times0 + 0\times2 + 1\times0&1\times1 + 0\times0 + 1\times1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2&0&2\\0&4&0\\2&0&2\end{bmatrix} \end{align*}$
  3. 计算$A^2 - E$：
    单位矩阵$E=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，则$A^2 - E$为：
    $\begin{align*} A^2 - E&=\begin{bmatrix}2&0&2\\0&4&0\\2&0&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2 - 1&0 - 0&2 - 0\\0 - 0&4 - 1&0 - 0\\2 - 0&0 - 0&2 - 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&3&0\\2&0&1\end{bmatrix} \end{align*}$
  4. 计算$A - E$：
    $\begin{align*} A - E&=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 - 1&0 - 0&1 - 0\\0 - 0&2 - 1&0 - 0\\1 - 0&0 - 0&1 - 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix} \end{align*}$
  5. 求$(A - E)^{-1}$：
    对增广矩阵$\begin{bmatrix}A - E|E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&1\end{bmatrix}$进行初等行变换化为$\begin{bmatrix}E|(A - E)^{-1}\end{bmatrix}$。
    • 交换第一行和第三行，得到$\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&1\\0&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&0&0\end{bmatrix}$。
      此时增广矩阵左边已化为单位矩阵，右边即为$(A - E)^{-1}=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$。
  6. 计算$X$：
    $X = (A - E)^{-1}(A^2 - E)=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0&2\\0&3&0\\2&0&1\end{bmatrix}$
    $\begin{align*} X&=\begin{bmatrix}0\times1 + 0\times0 + 1\times2&0\times0 + 0\times3 + 1\times0&0\times2 + 0\times0 + 1\times1\\0\times1 + 1\times0 + 0\times2&0\times0 + 1\times3 + 0\times0&0\times2 + 1\times0 + 0\times1\\1\times1 + 0\times0 + 0\times2&1\times0 + 0\times3 + 0\times0&1\times2 + 0\times0 + 0\times1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{bmatrix} \end{align*}$