设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布，其概率密度为f(x)= {e)^-dfrac (x{5)},xgt 0 0,else .A.0.8324B.0.5167C.0.3128D.0.4726

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算、二项分布的应用以及概率的逆事件求解方法。

解题思路：

1. 确定单次事件概率：根据指数分布的性质，计算顾客等待时间超过10分钟的概率$P(X > 10)$。
2. 建立二项分布模型：将“一个月内未等到服务的次数”视为二项分布$Y \sim B(5, p)$，其中$p = P(X > 10)$。
3. 逆事件简化计算：利用$P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0)$，避免直接计算多个复杂项的和。

关键点：

• 指数分布的生存函数：$P(X > x) = e^{-\lambda x}$，其中$\lambda = \frac{1}{5}$。
• 二项分布的性质：$P(Y = k) = C_{5}^{k} p^{k} (1-p)^{5-k}$，特别关注$P(Y = 0)$的计算。

步骤1：计算单次离开的概率$p$

根据指数分布的生存函数：
$p = P(X > 10) = e^{-\frac{10}{5}} = e^{-2} \approx 0.1353$

步骤2：建立二项分布模型

Y表示5次中有多少次未等到服务，服从二项分布：
$Y \sim B\left(n=5, \ p=e^{-2}\right)$

步骤3：计算$P(Y \geqslant 1)$

利用逆事件概率：
$P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0)$
其中：
$P(Y = 0) = (1 - p)^{5} = (1 - e^{-2})^{5} \approx (1 - 0.1353)^{5} \approx 0.8647^{5} \approx 0.4835$
因此：
$P(Y \geqslant 1) = 1 - 0.4835 \approx 0.5165 \approx 0.5167$