6.判断题若f(x)在x_(0)处连续，g(x)在x_(0)处不连续，则f(x)cdot g(x)在x_(0)处必不连续（）A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查函数连续性的性质，特别是两个函数乘积的连续性判断。

解题核心思路：
连续函数与非连续函数的乘积是否一定不连续？
关键在于连续函数在某点的值是否为零。若连续函数在该点的函数值为零，即使另一个函数在该点不连续，它们的乘积在该点可能仍然连续。

破题关键点：

• 反例的存在性：通过构造具体例子（如连续函数在某点值为零，而另一函数在该点不连续），说明命题不成立。

反例构造：
设$f(x)$在$x_0$处连续且$f(x_0)=0$，而$g(x)$在$x_0$处不连续。此时，乘积$f(x) \cdot g(x)$在$x_0$处的连续性如何？

1. 函数值分析：
   $f(x_0) \cdot g(x_0) = 0 \cdot g(x_0) = 0$。

2. 极限分析：
   当$x \to x_0$时，$f(x) \to f(x_0) = 0$，而$g(x)$可能在$x_0$附近任意取值（因$g(x)$不连续）。但无论$g(x)$如何变化，$f(x) \cdot g(x)$的极限为：
   $\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) \quad (\text{若极限存在})$
   但由于$f(x) \to 0$，即使$\lim_{x \to x_0} g(x)$不存在或不等于$g(x_0)$，乘积的极限仍可能为$0$，即：
   $\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = 0 = f(x_0) \cdot g(x_0).$

3. 结论：
   此时$f(x) \cdot g(x)$在$x_0$处连续，说明原命题不成立。