题目

若线性方程组}x_{1)+x_(2)=-a_(1)x_(2)+x_(3)=a_(2)x_(3)+x_(4)=-a_(3)x_(4)+x_(1)=a_(4)=1

若线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-a_{1}\\x_{2}+x_{3}=a_{2}\\x_{3}+x_{4}=-a_{3}\\x_{4}+x_{1}=a_{4}\end{matrix}\right.$有解，则常数$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$应满足（）

A. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$

B. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0$

C. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=3$

D. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=1$

题目解答

答案

B. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0$

解析

本题考查线性方程组有解的条件，解题思路是通过将方程组中的四个方程相加，然后根据方程组有解的性质来确定常数$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$应满足的关系。

  1. 首先，将方程组$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-a_{1}&(1)\\x_{2}+x_{3}=a_{2}&(2)\\x_{3}+x_{4}=-a_{3}&(3)\\x_{4}+x_{1}=a_{4}&(4)\end{cases}$中的四个方程相加：
    • 把$(1)$式$x_{1}+x_{2}=-a_{1}$、$(2)$式$x_{2}+x_{3}=a_{2}$、$(3)$式$x_{3}+x_{4}=-a_{3}$和$(4)$式$x_{4}+x_{1}=a_{4}$左右两边分别相加，得到$(x_{1}+x_{2})+(x_{2}+x_{3})+(x_{3}+x_{4})+(x_{4}+x_{1})=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}$。
  2. 然后，对等式左边进行化简：
    • 对$(x_{1}+x_{2})+(x_{2}+x_{3})+(x_{3}+x_{4})+(x_{4}+x_{1})$去括号得$x_{1}+x_{2}+x_{2}+x_{3}+x_{3}+x_{4}+x_{4}+x_{1}$。
    • 合并同类项可得$2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})$。
    • 此时方程变为$2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}$。
  3. 最后，根据线性方程组有解的条件：
    • 因为线性方程组有解，所以上述等式必须成立。若要使方程组有解，等式右边$-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}$必须为$0$，即$-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}=0$，移项可得$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0$。