题目
设总体 X 的概率密度函数为 f(x, theta)= } theta x^theta-1, & 0
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x, \theta)= \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的一个样本，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是相应于样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的一组样本观察值，则似然函数 $L(\theta)= (\quad)$.
A. $\theta \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}$
B. $n \theta \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}$
C. $\theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}$
D. $\theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^\theta$
题目解答
答案
似然函数 $ L(\theta) $ 是样本观察值的联合概率密度函数，即各样本概率密度的乘积。给定概率密度函数 $ f(x, \theta) = \theta x^{\theta-1} $（当 $ 0 < x < 1 $ 时），似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}
$$
因此，正确答案是：
$$
\boxed{C}
$$
解析
似然函数是统计学中用于估计参数的重要工具，其核心思想是样本观测值的联合概率密度函数关于参数θ的函数。本题的关键在于：
- 独立同分布假设下，似然函数为各样本概率密度的乘积；
- 正确展开乘积形式，注意θ的幂次和样本观测值的乘积形式。
似然函数的构造
-
单个样本的概率密度：
根据题意，每个样本的概率密度为：
$f(X_i, \theta) = \theta X_i^{\theta-1} \quad (0 < X_i < 1)$ -
联合概率密度的乘积：
由于样本独立，联合概率密度为各单个密度的乘积：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i, \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \theta X_i^{\theta-1} \right)$ -
展开乘积：
- θ的幂次：每个样本贡献一个θ，共$n$个θ相乘，即$\theta^n$；
- 样本观测值的乘积：每个$x_i^{\theta-1}$相乘，即$\left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}$；
- 最终形式为：
$L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta-1}$
选项分析
- 选项C正确匹配上述推导；
- 其他选项错误原因：
- A：θ的幂次错误（应为$n$次方）；
- B：额外包含$n\theta$项，不符合乘积逻辑；
- D：指数错误（应为$\theta-1$）。