设随机变量X sim N(1, 2^2)，X_1, X_2, ..., X_(100)是X的样本，overline(X)为样本均值。已知Y = aoverline(X) + b sim N(0, 1)，则有()。A. a = -5, b = 5；B. a = 5, b = 5；C. a = (1)/(5), b = -(1)/(5)；D. a = -(1)/(5), b = (1)/(5).

本题考察正态分布的性质及样本均值的分布，关键是利用正态分布的线性变换性质求解。

步骤1：确定样本均值$\overline{X}$的分布

已知随机变量$X \sim N(1, 2^2)$，即$X$的均值$\mu=1$，方差$\sigma^2=4$（标准差$\sigma=2$）。
对于样本容量为$n=100$的样本均值$\overline{X}$，根据正态分布的性质：
若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
代入参数得：
$\overline{X} \sim N\left(1, \frac{4}{100}\right) = N\left(1, 0.04\right)$
即$\overline{X}$的均值$E(\overline{X})=1$，方差$D(\overline{X})=0.04$，标准差$\sqrt{0.04}=0.2$。

步骤2：对$\overline{X}$进行线性变换使$Y \sim N(0,1)$**

设$Y = a\overline{X} + b$，要使$Y \sim N(0,1)$，需满足：

1. $Y$的均值为$0$：$E(Y) = aE(\overline{X}) + b = 0$
2. $Y$的方差为$1$：$D(Y) = a^2D(\overline{X}) = 1$（因常数$b$不影响方差）

解方程求$a$和$b$**

• 由方差条件：$a^2 \times 0.04 = 1$
  解得$a^2 = \frac{1}{0.04} = 25$，故$a = \pm 5$。

• 由均值条件：$a \times 1 + b = 0$
  若$a = -5$，则$b = -a = 5$；若$a = 5$，则$b = -5$。

步骤3：匹配选项**

题目选项中仅$A$选项$a=-5, b=5$符合条件。