题目
某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本标准差S=109小时。问在a=0.05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？ (已知: _(0.05)(9)=2.262 _(0.05)(8)=2.306 _(0.025)=1.960 )
某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本标准差S=109小时。问在a=0.05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？ 
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设
- 零假设 ${H}_{0}:\mu =1120$，即灯泡的平均寿命没有显著变化。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 1120$，即灯泡的平均寿命有显著变化。
步骤 2：选择统计量
- 由于样本量较小（n=9），且总体标准差未知，选择t统计量 $T=\dfrac {\overline {x}-\mu }{S/\sqrt {n}}$，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：计算t统计量
- 样本均值 $\overline {x}=1070$ 小时，总体均值 $\mu=1120$ 小时，样本标准差 $S=109$ 小时，样本量 $n=9$。
- 计算t统计量 $T=\dfrac {1070-1120}{109/\sqrt {9}}=\dfrac {-50}{109/3}=\dfrac {-50}{36.33}=-1.376$。
步骤 4：确定临界值
- 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，自由度 $df=n-1=8$，查t分布表得临界值 ${t}_{0.05}(8)=2.306$。
步骤 5：比较t统计量与临界值
- 比较计算得到的t统计量 $|T|=1.376$ 与临界值 ${t}_{0.05}(8)=2.306$。
- 由于 $|T|=1.376 < {t}_{0.05}(8)=2.306$，故不拒绝零假设 ${H}_{0}$。
步骤 6：得出结论
- 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，没有足够的证据拒绝零假设 ${H}_{0}$，即认为灯泡的平均寿命没有显著变化。
- 零假设 ${H}_{0}:\mu =1120$，即灯泡的平均寿命没有显著变化。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 1120$，即灯泡的平均寿命有显著变化。
步骤 2：选择统计量
- 由于样本量较小（n=9），且总体标准差未知，选择t统计量 $T=\dfrac {\overline {x}-\mu }{S/\sqrt {n}}$，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：计算t统计量
- 样本均值 $\overline {x}=1070$ 小时，总体均值 $\mu=1120$ 小时，样本标准差 $S=109$ 小时，样本量 $n=9$。
- 计算t统计量 $T=\dfrac {1070-1120}{109/\sqrt {9}}=\dfrac {-50}{109/3}=\dfrac {-50}{36.33}=-1.376$。
步骤 4：确定临界值
- 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，自由度 $df=n-1=8$，查t分布表得临界值 ${t}_{0.05}(8)=2.306$。
步骤 5：比较t统计量与临界值
- 比较计算得到的t统计量 $|T|=1.376$ 与临界值 ${t}_{0.05}(8)=2.306$。
- 由于 $|T|=1.376 < {t}_{0.05}(8)=2.306$，故不拒绝零假设 ${H}_{0}$。
步骤 6：得出结论
- 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，没有足够的证据拒绝零假设 ${H}_{0}$，即认为灯泡的平均寿命没有显著变化。