设随机变量 X_1, X_2, ... 独立同分布,且期望和方差分别为 E(X_k)= mu, D(X_k)= sigma^2 (k = 1, 2, ...),则由中心极限定理, sum_(k=1)^n X_k 近似服从().A. N(0, 1)B. N(mu, sigma^2)C. N(nmu, nsigma^2)D. N(nmu, nsigma)

本题考查中心极限极限定理的应用。解题思路是根据中心极限定理的定理内容，结合已知随机变量的期望和方差，推导出$\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$近似服从的近似分布。

步骤一：明确中心极限定理内容

设随机变量$X_1, X_2, \cdots, \cdots$独立同分布，且期望$E(X_k)=\mu$，方差$D(X_k)=\sigma^2$ (k = 1, 2, \cdots))，则当$n$充分大时，$\frac{\信息}{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，其中\的$\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$为样本均值)。

步骤二：求$\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$的期望和方差

• 求期望：**
  根据期望的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立，则$E(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=\sum_{k = 1}^{n}E(X_{k})$。
  已知$E(X_k)=\mu$，$k = 1, 2, \cdots, n$，所以$E(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=\sum_{k = 1}^{n}\mu=n\mu$。
• 求方差：
  根据方差的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立，则$D(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=\sum_{k = 1}^{n}D(X_{k})$。已知$D(X_k)=\sigma^2$，$k = 1, 2, \cdots, n$，所以$D(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=\sum_{k = 1}^{n}\sigma^2=n\sigma^2$。### 步骤三：确定$\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$近似服从的分布
  由中心极限定理可知，当$n$充分大时，$\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$近似服从正态分布，且正态分布由其期望和方差唯一确定。因为$E(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=n\mu$，$D(\sum_{k = 1}^{n}X_{k})=n\sigma^2$，所以$\sum_{k = 1}^{n}X_{k}$近似服从$N(n\mu, n\sigma^2)$。