设 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1, 且 P(A | B) geq P(A), 则下列结论中不成立的是 ( )(A) P(B | A) geq P(B)(B) P(A | overline(B)) leq P(A)(C) P(overline(A) | overline(B)) geq P(overline(A))(D) P(overline(A) | overline(B)) leq P(overline(A))

我们来逐步分析这个概率题。

题目条件：

• $ 0 < P(A) < 1 $
• $ 0 < P(B) < 1 $
• $ P(A \mid B) \geq P(A) $

要求判断下列四个选项中哪一个不成立。

第一步：理解已知条件

已知：
$P(A \mid B) \geq P(A)$

根据条件概率的定义：
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

所以不等式变为：
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq P(A) \quad \Rightarrow \quad P(A \cap B) \geq P(A)P(B)$

这说明：事件 $ A $ 与 $ B $ 是正相关的（协方差为正，或说一个发生会提高另一个发生的概率）。

我们接下来逐个分析选项。

选项 (A)：$ P(B \mid A) \geq P(B) $

我们来推导：
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

我们已知 $ P(A \cap B) \geq P(A)P(B) $，代入上式：
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \geq \frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B)$

所以：
$P(B \mid A) \geq P(B)$

✅ 选项 (A) 成立。

选项 (B)：$ P(A \mid \overline{B}) \leq P(A) $

我们来分析 $ P(A \mid \overline{B}) $。

利用全概率公式：
$P(A) = P(A \mid B)P(B) + P(A \mid \overline{B})P(\overline{B})$

已知 $ P(A \mid B) \geq P(A) $，我们设：

• $ x = P(A \mid B) \geq P(A) $
• $ y = P(A \mid \overline{B}) $
• $ p = P(B) \in (0,1) $，所以 $ P(\overline{B}) = 1 - p $

则：
$P(A) = x \cdot p + y \cdot (1 - p)$

由于 $ x \geq P(A) $，我们代入：
$P(A) \geq P(A) \cdot p + y \cdot (1 - p)$

移项：
$P(A) - P(A) \cdot p \geq y \cdot (1 - p) \quad \Rightarrow \quad P(A)(1 - p) \geq y(1 - p)$

因为 $ 1 - p > 0 $（因为 $ P(B) < 1 $），两边除以 $ 1 - p $：
$P(A) \geq y = P(A \mid \overline{B})$

即：
$P(A \mid \overline{B}) \leq P(A)$

✅ 选项 (B) 成立。

选项 (C)：$ P(\overline{A} \mid \overline{B}) \geq P(\overline{A}) $

我们来分析这个。

注意：
$P(\overline{A} \mid \overline{B}) = 1 - P(A \mid \overline{B})$
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

由选项 (B) 的结论：$ P(A \mid \overline{B}) \leq P(A) $

两边取负号，方向反转：
$- P(A \mid \overline{B}) \geq - P(A)$

加 1：
$1 - P(A \mid \overline{B}) \geq 1 - P(A) \quad \Rightarrow \quad P(\overline{A} \mid \overline{B}) \geq P(\overline{A})$

✅ 选项 (C) 成立。

选项 (D)：$ P(\overline{A} \mid \overline{B}) \leq P(\overline{A}) $

这与选项 (C) 完全相反！

我们刚刚已经证明：
$P(\overline{A} \mid \overline{B}) \geq P(\overline{A})$

所以：
$P(\overline{A} \mid \overline{B}) \leq P(\overline{A}) \quad \text{是不成立的}$

❌ 选项 (D) 不成立。

结论：

题目问的是“下列结论中不成立的是”，所以答案是：

$\boxed{\text{(D)}}$

最终答案：

$\boxed{\text{(D)}}$