题目
已知随机变量xi_1,xi_2,xi_3的协方差(cov)(xi_1,xi_3)=2, (cov)(xi_2,xi_3)=1,则(cov)(xi_1+xi_2,3xi_3)=().A. 5B. 6C. 8D. 9
已知随机变量$\xi_1,\xi_2,\xi_3$的协方差$\text{cov}(\xi_1,\xi_3)=2,\quad\text{cov}(\xi_2,\xi_3)=1$,则$\text{cov}(\xi_1+\xi_2,3\xi_3)=$().
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
题目解答
答案
D. 9
解析
步骤 1：应用协方差的性质
根据协方差的性质，对于任意随机变量$\xi_1,\xi_2,\xi_3$，有： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = 3 \left[ \text{cov}(\xi_1, \xi_3) + \text{cov}(\xi_2, \xi_3) \right] \] 这是因为协方差是线性的，即$\text{cov}(a\xi_1 + b\xi_2, c\xi_3) = ac\text{cov}(\xi_1, \xi_3) + bc\text{cov}(\xi_2, \xi_3)$，其中$a,b,c$是常数。
步骤 2：代入已知值
根据题目给出的条件，$\text{cov}(\xi_1,\xi_3)=2$，$\text{cov}(\xi_2,\xi_3)=1$，代入上述公式： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = 3 \times (2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \]
根据协方差的性质，对于任意随机变量$\xi_1,\xi_2,\xi_3$，有： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = 3 \left[ \text{cov}(\xi_1, \xi_3) + \text{cov}(\xi_2, \xi_3) \right] \] 这是因为协方差是线性的，即$\text{cov}(a\xi_1 + b\xi_2, c\xi_3) = ac\text{cov}(\xi_1, \xi_3) + bc\text{cov}(\xi_2, \xi_3)$，其中$a,b,c$是常数。
步骤 2：代入已知值
根据题目给出的条件，$\text{cov}(\xi_1,\xi_3)=2$，$\text{cov}(\xi_2,\xi_3)=1$，代入上述公式： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = 3 \times (2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \]