【简答题】对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查,现抽取3件产品,以X表示抽取的3件产品中次品的件数,试求(1)X的分布律;(2)至少有一件是次品的概率

考查要点：本题主要考查二项分布的应用及概率计算能力。
解题思路：

1. 识别分布类型：由于每次抽样独立，且结果为“次品”或“非次品”，符合二项分布条件。
2. 计算各取值概率：利用二项分布公式 $P(X=k) = C(3,k) \cdot (0.1)^k \cdot (0.9)^{3-k}$，分别计算 $k=0,1,2,3$ 的概率。
3. 对立事件简化计算：求“至少一件次品”时，转化为“全部为正品”的对立事件，简化计算。

第（1）题：求分布律

确定二项分布参数

• 试验次数 $n=3$，次品率 $p=0.1$，非次品率 $1-p=0.9$。

计算各取值概率

• $X=0$（无次品）：
  $P(X=0) = C(3,0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.729 = 0.729$
• $X=1$（恰有1件次品）：
  $P(X=1) = C(3,1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^2 = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 0.243$
• $X=2$（恰有2件次品）：
  $P(X=2) = C(3,2) \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^1 = 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 0.027$
• $X=3$（全为次品）：
  $P(X=3) = C(3,3) \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^0 = 1 \cdot 0.001 \cdot 1 = 0.001$

验证概率和为1

$0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.0$

第（2）题：至少有一件次品的概率

利用对立事件

“至少一件次品”的对立事件是“无次品”，因此：
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.729 = 0.271$