题目

21.求函数y=(2)/(3)x-(x-1)^(2)/(3)的极值.

21.求函数$y=\frac{2}{3}x-(x-1)^{\frac{2}{3}}$的极值.

题目解答

答案

求导得 $ y' = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{1}{3}} $。
令 $ y' = 0 $，解得 $ x = 2 $。
导数在 $ x = 1 $ 处不存在，故 $ x = 1 $ 为临界点。

符号分析：

  • 当 $ x < 1 $ 时，$ y' > 0 $，函数递增；
  • 当 $ 1 < x < 2 $ 时，$ y' < 0 $，函数递减；
  • 当 $ x > 2 $ 时，$ y' > 0 $，函数递增。

极值：

  • $ x = 1 $ 处，导数由正变负，为极大值，$ y(1) = \frac{2}{3} $；
  • $ x = 2 $ 处，导数由负变正，为极小值，$ y(2) = \frac{1}{3} $。

答案：
极大值 $\boxed{\frac{2}{3}}$，极小值 $\boxed{\frac{1}{3}}$。

解析

本题考查函数极值的求解，解题思路是先对函数求导，找出导数为零的点以及导数不存在的点，这些点即为函数的临界点，然后通过分析导数在临界点两侧的符号来判断函数的单调性，进而确定函数在这些点处是取得极大值还是极小值。

  1. 求函数的导数：
    已知函数$y = \frac{2}{3}x - (x - 1)^{\frac{2}{3}}$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及$(Cx)^\prime = C$（$C$为常数）对函数求导。
    • 对于$\frac{2}{3}x$求导，根据$(Cx)^\prime = C$，可得$(\frac{2}{3}x)^\prime=\frac{2}{3}$。
    • 对于$-(x - 1)^{\frac{2}{3}}$求导，令$u = x - 1$，则$-(x - 1)^{\frac{2}{3}}=-u^{\frac{2}{3}}$，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，先对$-u^{\frac{2}{3}}$关于$u$求导，$(-u^{\frac{2}{3}})^\prime=-\frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}$，再对$u = x - 1$关于$x$求导，$u^\prime=(x - 1)^\prime = 1$，所以$[-(x - 1)^{\frac{2}{3}}]^\prime=-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}$。
    • 则函数$y$的导数$y^\prime=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}$。
  2. 求临界点：
    • 令$y^\prime = 0$，即$\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}} = 0$，移项可得$\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$，两边同时除以$\frac{2}{3}$得$(x - 1)^{-\frac{1}{3}} = 1$，即$\frac{1}{(x - 1)^{\frac{1}{3}}}=1$，则$(x - 1)^{\frac{1}{3}} = 1$，两边同时立方可得$x - 1 = 1$，解得$x = 2$。
    • 当$x = 1$时，$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}$的分母为$0$，导数$y^\prime$不存在，所以$x = 1$也是临界点。
  3. 分析函数单调性：
    • 当$x \lt 1$时，$x - 1\lt 0$，则$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{(x - 1)^{\frac{1}{3}}}\lt 0$，所以$-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\gt 0$，那么$y^\prime=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\gt 0$，函数$y$单调递增。
    • 当$1 \lt x \lt 2$时，$x - 1\gt 0$，$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{(x - 1)^{\frac{1}{3}}}\gt 0$，且$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\gt 1$，所以$-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\lt -\frac{2}{3}$，则$y^\prime=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\lt 0$，函数$y$单调递减。
    • 当$x \gt 2$时，$x - 1\gt 0$，$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{(x - 1)^{\frac{1}{3}}}\gt 0$，且$(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\lt 1$，所以$-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\gt -\frac{2}{3}$，则$y^\prime=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}}\gt 0$，函数$y$单调递增。
  4. 求极值：
    • 因为在$x = 1$处，导数由正变负，根据极值的判定定理，函数在该点取得极大值，将$x = 1$代入原函数$y = \frac{2}{3}x - (x - 1)^{\frac{2}{3}}$可得$y(1)=\frac{2}{3}\times 1 - (1 - 1)^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$。
    • 因为在$x = 2$处，导数由负变正，根据极值的判定定理，函数在该点取得极小值，将$x = 2$代入原函数$y = \frac{2}{3}x - (x - 1)^{\frac{2}{3}}$可得$y(2)=\frac{2}{3}\times 2 - (2 - 1)^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。