题目
两组服从双变量正态分布的资料,若两样本回归系数 b_1 = b_2, n_1 > n_2,则一定有A. r_1 > r_2B. r_1 C. t_(b1) = t_(b2)D. t_(b1) = t_(r1)E. t_(r1) = t_(r2)
两组服从双变量正态分布的资料,若两样本回归系数 $b_1 = b_2$, $n_1 > n_2$,则一定有
A. $r_1 > r_2$
B. $r_1 < r_2$
C. $t_{b1} = t_{b2}$
D. $t_{b1} = t_{r1}$
E. $t_{r1} = t_{r2}$
题目解答
答案
C. $t_{b1} = t_{b2}$
解析
步骤 1：理解回归系数和相关系数的关系
回归系数 $b$ 和相关系数 $r$ 之间的关系是：\[ b = r \frac{s_y}{s_x} \] 其中，$s_y$ 和 $s_x$ 分别是因变量和自变量的标准差。因此，回归系数 $b$ 的大小不仅取决于相关系数 $r$，还取决于变量的标准差。
步骤 2：分析回归系数 $b_1 = b_2$ 的含义
由于 $b_1 = b_2$，这意味着两组数据的回归系数相同。但是，这并不直接意味着相关系数 $r_1$ 和 $r_2$ 相同，因为标准差 $s_{y1}$, $s_{x1}$ 和 $s_{y2}$, $s_{x2}$ 可能不同。
步骤 3：分析回归系数的 t 统计量
回归系数的 t 统计量为：\[ t_b = \frac{b \sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}}{s_e} \] 或 \[ t_b = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \] 其中，$s_e$ 是残差标准差。由于题目未提供标准差信息，无法直接比较 $t_{b1}$ 和 $t_{b2}$ 的大小。但是，由于 $b_1 = b_2$，且 $n_1 > n_2$，可以推断出 $t_{b1} = t_{b2}$。
步骤 4：分析相关系数的 t 统计量
相关系数的 t 统计量为：\[ t_r = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \] 由于题目未提供相关系数 $r_1$ 和 $r_2$ 的信息，无法直接比较 $t_{r1}$ 和 $t_{r2}$ 的大小。但是，由于 $b_1 = b_2$，可以推断出 $t_{r1} = t_{r2}$。
回归系数 $b$ 和相关系数 $r$ 之间的关系是：\[ b = r \frac{s_y}{s_x} \] 其中，$s_y$ 和 $s_x$ 分别是因变量和自变量的标准差。因此，回归系数 $b$ 的大小不仅取决于相关系数 $r$，还取决于变量的标准差。
步骤 2：分析回归系数 $b_1 = b_2$ 的含义
由于 $b_1 = b_2$，这意味着两组数据的回归系数相同。但是，这并不直接意味着相关系数 $r_1$ 和 $r_2$ 相同，因为标准差 $s_{y1}$, $s_{x1}$ 和 $s_{y2}$, $s_{x2}$ 可能不同。
步骤 3：分析回归系数的 t 统计量
回归系数的 t 统计量为：\[ t_b = \frac{b \sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}}{s_e} \] 或 \[ t_b = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \] 其中，$s_e$ 是残差标准差。由于题目未提供标准差信息，无法直接比较 $t_{b1}$ 和 $t_{b2}$ 的大小。但是，由于 $b_1 = b_2$，且 $n_1 > n_2$，可以推断出 $t_{b1} = t_{b2}$。
步骤 4：分析相关系数的 t 统计量
相关系数的 t 统计量为：\[ t_r = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \] 由于题目未提供相关系数 $r_1$ 和 $r_2$ 的信息，无法直接比较 $t_{r1}$ 和 $t_{r2}$ 的大小。但是，由于 $b_1 = b_2$，可以推断出 $t_{r1} = t_{r2}$。