题目
14.填空题设A是齐次线性方程组}x_{1)+2x_(2)=0-x_(1)+kx_(2)=0.有非零解，则k=_____.
14.填空题
设A是齐次线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}+2x_{2}=0\\-x_{1}+kx_{2}=0\end{matrix}\right.$有非零解，则k=_____.
题目解答
答案
将方程组写成矩阵形式：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
系数矩阵的行列式为：
$\det(A) = 1 \cdot k - 2 \cdot (-1) = k + 2$
根据齐次线性方程组有非零解的条件，行列式应为零：
$k + 2 = 0 \implies k = -2$
答案： $\boxed{-2}$
解析
本题考查齐次线性方程组有非零解的条件以及二阶矩阵行列式的计算。解题思路是先将给定的齐次线性方程组写成矩阵形式，然后根据齐次线性方程组有非零解的充要条件，即其系数矩阵的行列式为零，计算出系数矩阵的行列式并令其等于零，最后求解出$k$的值。
- 将方程组写成矩阵形式：
已知齐次线性方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}=0\\ -x_{1}+kx_{2}=0\end{cases}$，可写成矩阵形式$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，其中系数矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & k \end{pmatrix}$。 - 计算系数矩阵的行列式：
对于二阶矩阵$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，其行列式$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad - bc$。
所以对于矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & k \end{pmatrix}$，其行列式$\det(A) = 1\times k - 2\times (-1)=k + 2$。 - 根据齐次线性方程组有非零解的条件求解$k$：
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零，即$\det(A)=0$。
所以$k + 2 = 0$，移项可得$k=-2$。