题目
一种元件，要求其使用寿命不得低于1000 H. 。现从一批这种元件中随机抽取12件，测得其寿命平均值为950H. ，已知该元件寿命服从标准差为100H. 的正态分布，在显著水平0.05下确定这批元件是否合格？()。A. 以上都不对B. 不合格C. 无法判断D. 合格
一种元件，要求其使用寿命不得低于1000
- H. 。现从一批这种元件中随机抽取12件，测得其寿命平均值为950
- H. ，已知该元件寿命服从标准差为100
- H. 的正态分布，在显著水平0.05下确定这批元件是否合格？()。
- A. 以上都不对
- B. 不合格
- C. 无法判断
- D. 合格
题目解答
答案
1. **假设检验**：
$H_0: \mu \geq 1000$（合格），$H_1: \mu < 1000$（不合格）。
2. **计算Z统计量**：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{950 - 1000}{100 / \sqrt{12}} \approx -1.73$。
3. **确定临界值**：
$\alpha = 0.05$，左侧检验，临界值为$-Z_{0.05} = -1.64$。
4. **比较**：
$-1.73 < -1.64$，拒绝$H_0$。
**结论**：元件平均寿命低于1000小时，不合格。
答案：$\boxed{B}$。
解析
本题考查正态分布下的假设检验知识。解题思路是先根据题目要求提出原假设和备择假设，然后根据已知条件计算检验统计量，再根据显著水平确定临界值，最后比较检验统计量和临界值的大小来判断是否拒绝原假设，从而得出这批元件是否合格的结论。
- 提出假设：
- 原假设 $H_0: \mu \geq 1000$，表示这批元件合格，即元件的平均使用寿命不低于1000小时。
- 备择假设 $H_1: \mu < 1000$，表示这批元件不合格，即元件的平均使用寿命低于1000小时。
- 计算Z统计量：
- 已知样本均值 $\bar{X} = 950$，总体均值假设值 $\mu_0 = 1000$，总体标准差 $\sigma = 100$，样本容量 $n = 12$。
- 根据公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，将数值代入可得：
$\begin{align*}Z&=\frac{950 - 1000}{100 / \sqrt{12}}\\&=\frac{-50}{100 / \sqrt{12}}\\&=\frac{-50\sqrt{12}}{100}\\&=-\frac{\sqrt{12}}{2}\\&\approx -1.73\end{align*}$
- 确定临界值：
- 已知显著水平 $\alpha = 0.05$，本题是左侧检验，需要查找标准正态分布表得到临界值 $-Z_{0.05}$。
- 查标准正态分布表可得 $Z_{0.05}=1.64$，所以临界值为 $-Z_{0.05} = -1.64$。
- 比较并得出结论：
- 比较计算得到的Z统计量 $Z\approx -1.73$ 和临界值 $-1.64$ 的大小，因为 $-1.73 < -1.64$，所以拒绝原假设 $H_0$。
- 拒绝原假设意味着接受备择假设 $H_1$，即元件平均寿命低于1000小时，这批元件不合格。