题目

设 X_1, X_2, ldots, X_n 独立同分布，且 X_i (i=1,2,...,n) 服从参数为 lambda=2 的泊松分布。当 n=50 时，记 S_(50) = sum_(i=1)^50 X_i，则 PS_{50) < 130} 的近似值为多少？A 1 - Phi(1)B Phi(1)C 1 - Phi(3)D Phi(3)

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，且 $X_i (i=1,2,\cdots,n)$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的泊松分布。当 $n=50$ 时，记 $S_{50} = \sum_{i=1}^{50} X_i$，则 $P\{S_{50} < 130\}$ 的近似值为多少？

A $1 - \Phi(1)$

B $\Phi(1)$

C $1 - \Phi(3)$

D $\Phi(3)$

题目解答

答案

根据题目给出的信息，我们需要计算 $P(S_{50} < 130)$ 的近似值。

第一步：确定单个随机变量的分布及其数字特征
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，且 $X_i$ 服从参数为 $\lambda = 2$ 的泊松分布，即 $X_i \sim P(2)$。
对于泊松分布 $P(\lambda)$，其期望和方差分别为：
期望 $E(X_i) = \lambda = 2$
方差 $D(X_i) = \lambda = 2$

第二步：确定和 $S_{50}$ 的数字特征
题目中 $n = 50$，$S_{50} = \sum_{i=1}^{50} X_i$。
由于 $X_i$ 是独立同分布的，根据期望和方差的性质：
$E(S_{50}) = E\left(\sum_{i=1}^{50} X_i\right) = \sum_{i=1}^{50} E(X_i) = 50 \times 2 = 100$
$D(S_{50}) = D\left(\sum_{i=1}^{50} X_i\right) = \sum_{i=1}^{50} D(X_i) = 50 \times 2 = 100$

第三步：应用中心极限定理
因为 $n = 50$ 足够大，根据独立同分布的中心极限定理（林德伯格-列维定理），$S_{50}$ 近似服从正态分布 $N(E(S_{50}), D(S_{50}))$，即 $S_{50} \sim N(100, 100)$。
为了求概率，我们将 $S_{50}$ 标准化：
令 $Z = \frac{S_{50} - E(S_{50})}{\sqrt{D(S_{50})}} = \frac{S_{50} - 100}{\sqrt{100}} = \frac{S_{50} - 100}{10}$
此时 $Z$ 近似服从标准正态分布 $N(0, 1)$。

第四步：计算目标概率
我们需要计算 $P(S_{50} < 130)$：
$P(S_{50} < 130) = P\left(\frac{S_{50} - 100}{10} < \frac{130 - 100}{10}\right)$
$P(S_{50} < 130) = P(Z < 3)$
对于标准正态分布 $Z \sim N(0, 1)$，其累积分布函数记为 $\Phi(x)$。
因此，$P(Z < 3) = \Phi(3)$。

综上所述，$P(S_{50} < 130)$ 的近似值为 $\Phi(3)$。

正确选项是 D。

解析

本题考查独立同分布的中心极限定理以及泊松分布的数字特征。解题思路是先根据泊松分布的性质求出单个随机变量的期望和方差，再利用期望和方差的性质求出和$S_{50}$的期望和方差，然后根据中心极限定理将$S_{50}$标准化，最后计算目标概率。

  1. 确定单个随机变量的分布及其数字特征：
    已知$X_i$服从参数为$\lambda = 2$的泊松分布，即$X_i \sim P(2)$。
    对于泊松分布$P(\lambda)$，其期望和方差分别为：
    期望$E(X_i) = \lambda = 2$；
    方差$D(X_i) = \lambda = 2$。
  2. 确定和$S_{50}$的数字特征：
    因为$S_{50} = \sum_{i=1}^{50} X_i$，且$X_i$独立同分布，根据期望和方差的性质：
    期望$E(S_{50}) = E\left(\sum_{i=1}^{50} X_i\right) = \sum_{i=1}^{50} E(X_i) = 50\times 2 = 100$；
    方差$D(S_{50}) = D\left(\sum_{i=1}^{50} X_i\right) = \sum_{i=1}^{50} D(X_i) = 50\times 2 = 100$。
  3. 应用中心极限定理：
    由于$n = 50$足够大，根据独立同分布的中心极限定理（林德伯格 - 列维定理），$S_{50}$近似服从正态分布$N(E(S_{50}), D(S_{50}))$，即$S_{50} \sim N(100, 100)$。
    将$S_{50}$标准化，令$Z = \frac{S_{50} - E(S_{50})}{\sqrt{D(S_{50})}} = \frac{S_{50} - 100}{\sqrt{100}} = \frac{S_{50} - 100}{10}$，此时$Z$近似服从标准正态分布$N(0, 1)$。
  4. 计算目标概率：
    计算$P(S_{50} \lt 130)$，将其转化为标准正态分布的形式：
    $P(S_{50} \lt 130) = P\left(\frac{S_{50} - 100}{10} \lt \frac{130 - 100}{10}\right)=P\left(Z \lt \frac{30}{10}\right)=P(Z \lt 3)$。
    对于标准正态分布$Z \sim N(0, 1)$，其累积分布函数记为$\Phi(x)$，所以$P(Z \lt 3) = \Phi(3)$。