题目
设样本_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)来自总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5),_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)服从自由度为_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)的_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)分布，则常数_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5)
设样本
来自总体
,
服从自由度为
的
分布，则常数
题目解答
答案
由：
且样本相互独立可得：
由正态分布的性质可得：
于是：
化简可得：
故答案选：
解析
步骤 1：确定样本的分布
由于样本X1,X2,···,X5来自总体N(0,1)，且相互独立，因此${X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,2)$，${{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}\sim {X}^{2}(3)$。
步骤 2：标准化
由正态分布的性质，$\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，$t=\dfrac {Z}{\sqrt {U/k}}$，其中Z~N(0,1)，U~χ²(k)，且Z与U独立。因此，$Y=\dfrac {c({X}_{1}+{X}_{2})}{\sqrt {{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}}$可以写成$Y=\dfrac {c\sqrt {2}\cdot \dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}}$，其中$\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$，${{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}\sim {X}^{2}(3)$。
步骤 4：确定常数c
为了使$Y$服从自由度为3的t分布，需要$c\sqrt {2}=\sqrt {3}$，即$c=\sqrt {\dfrac {3}{2}}$。
由于样本X1,X2,···,X5来自总体N(0,1)，且相互独立，因此${X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,2)$，${{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}\sim {X}^{2}(3)$。
步骤 2：标准化
由正态分布的性质，$\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$。
步骤 3：构造t分布
根据t分布的定义，$t=\dfrac {Z}{\sqrt {U/k}}$，其中Z~N(0,1)，U~χ²(k)，且Z与U独立。因此，$Y=\dfrac {c({X}_{1}+{X}_{2})}{\sqrt {{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}}$可以写成$Y=\dfrac {c\sqrt {2}\cdot \dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}}$，其中$\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$，${{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}\sim {X}^{2}(3)$。
步骤 4：确定常数c
为了使$Y$服从自由度为3的t分布，需要$c\sqrt {2}=\sqrt {3}$，即$c=\sqrt {\dfrac {3}{2}}$。