2.单选题(1分) X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)独立，X_(i)sim N(0,1),(i=1,2,3,4)以下不正确的是A. ((X_(1)+X_(2))^2)/(2)+((X_(3)+X_(4))^2)/(2)sim chi^2(2)B. (sqrt(3)X_(1))/(sqrt(X_(2)^2)+X_{3^2+X_{4)^2}}sim t(3)C. (X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2)/(X_(4)^2)sim F(3,1)D. (X_(1)^2+X_(2)^2)/(X_(3)^2+X_{4)^2}sim F(2,2)

本题主要考查正态分布、$\chi^{2}$分布、$t$分布和$F$分布的定义及性质，解题思路是根据这些分布的定义逐一分析每个选项。

选项A

• 已知$X_{i}\sim N(0,1),(i = 1,2,3,4)$且相互独立。
• 根据正态分布的性质，若$X_{1},X_{2}$相互独立且都服从$N(0,1)$，则$X_{1}+X_{2}\sim N(0,2)$。
• 再根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^{2}\sim \chi^{2}(1)$。
• 对于$\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，所以$(\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$；同理$(\frac{X_{3}+X_{4}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1)$。
• 又因为$\chi^{2}$分布具有可加性，即若$Y_{1}\sim \chi^{2}(n_{1})$，$Y_{2}\sim \chi^{2}(n_{2})$，且$Y_{1},Y_{2}$相互独立，则$Y_{1}+Y_{2}\sim \chi^{2}(n_{1}+n_{2})$。
• 所以$\frac{(X_{1}+X_{2})^{2}}{2}+\frac{(X_{3}+X_{4})^{2}}{2}=(\frac{X_{1}+X_{2}}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{X_{3}+X_{4}}{\sqrt{2}})^{2}\sim \chi^{2}(1 + 1)=\chi^{2}(2)$，选项A正确。

选项B

• 已知$X_{1}\sim N(0,1)$，$X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立且都服从$N(0,1)$。
• 根据$\chi^{2}$分布的定义，$X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}\sim \chi^{2}(3)$。
• 再根据$t$分布的定义：若$U\sim N(0,1)$，$V\sim \chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$。
• 在这里$U = X_{1}$，$V = X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}$，$n = 3$，则$\frac{X_{1}}{\sqrt{\frac{X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}{3}}}=\frac{\sqrt{3}X_{1}}{\sqrt{X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}}\sim t(3)$，选项B正确。

选项C

• 已知$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立且都服从$N(0,1)$。
• 根据$\chi^{2}$分布的定义，$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\sim \chi^{2}(3)$，$X_{4}^{2}\sim \chi^{2}(1)$。
• 根据$F$分布的定义：若$U\sim \chi^{2}(n_{1})$，$V\sim \chi^{2}(n_{2})$，且$U$与$V$相互独立，则$F=\frac{\frac{U}{n_{1}}}{\frac{V}{n_{2}}}\sim F(n_{1},n_{2})$。
• 所以$\frac{\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}{3}}{\frac{X_{4}^{2}}{1}}=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}{3X_{4}^{2}}\sim F(3,1)$，而不是$\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}{X_{4}^{2}}\sim F(3,1)$，选项C错误。

选项D

• 已知$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$相互独立且都服从$N(0,1)$。
• 根据$\chi^{2}$分布的定义，$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}\sim \chi^{2}(2)$，$X_{3}^{2}+X_{4}^{2}\sim \chi^{2}(2)$。
• 根据$F$分布的定义，$\frac{\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{2}}{\frac{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}{2}}=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}\sim F(2,2)$，选项D正确。