题目
设sim N(mu ,(sigma )^2)，则sim N(mu ,(sigma )^2).（）A.随着sim N(mu ,(sigma )^2)的减小而增加B.随着sim N(mu ,(sigma )^2)的减小而减小C.不随着sim N(mu ,(sigma )^2)的改变而改变D.随着sim N(mu ,(sigma )^2)的增加而增加
设
，则
.（）
A.随着
的减小而增加
B.随着的减小而减小
C.不随着的改变而改变
D.随着的增加而增加
题目解答
答案
表示X服从参数为
的正态分布，则
，则不随着的改变而改变，因此选择C。
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$表示随机变量X服从均值为$\mu$，方差为${\sigma }^{2}$的正态分布。正态分布的性质之一是，对于任意的正数$k$，$P(|X-\mu |\lt k\sigma )$的值仅依赖于$k$，而与$\mu$和$\sigma$无关。
步骤 2：计算$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$
根据正态分布的性质，$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$可以转换为$P(|\dfrac {X-\mu }{\sigma }|\lt 2)$。由于$\dfrac {X-\mu }{\sigma }$服从标准正态分布$N(0,1)$，因此$P(|\dfrac {X-\mu }{\sigma }|\lt 2)$等于$2\Phi (2)-1$，其中$\Phi (x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：分析$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$与$\sigma$的关系
由于$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )=2\Phi (2)-1$，而$\Phi (2)$是一个常数，因此$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$不随着$\sigma$的改变而改变。
$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$表示随机变量X服从均值为$\mu$，方差为${\sigma }^{2}$的正态分布。正态分布的性质之一是，对于任意的正数$k$，$P(|X-\mu |\lt k\sigma )$的值仅依赖于$k$，而与$\mu$和$\sigma$无关。
步骤 2：计算$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$
根据正态分布的性质，$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$可以转换为$P(|\dfrac {X-\mu }{\sigma }|\lt 2)$。由于$\dfrac {X-\mu }{\sigma }$服从标准正态分布$N(0,1)$，因此$P(|\dfrac {X-\mu }{\sigma }|\lt 2)$等于$2\Phi (2)-1$，其中$\Phi (x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：分析$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$与$\sigma$的关系
由于$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )=2\Phi (2)-1$，而$\Phi (2)$是一个常数，因此$P(|X-\mu |\lt 2\sigma )$不随着$\sigma$的改变而改变。