期望,方差综合题型假设随机变量X服从参数为lambda =3的泊松分布,Y sim N(1,2),且X Y相互独立,则有E(X+3 Y)= _.A. 6 21B. 4 25C. 6 25D. 4 21

本题考查泊松分布和正态分布的期望与方差的性质以及相互独立随机变量的期望和方差的运算。解题思路如下：

1. 首先明确泊松分布和正态分布的期望与方差的计算公式：
   • 若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$。
   • 若随机变量$Y$服从正态分布$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$E(Y)=\mu$，$D(Y)=\sigma^{2}$。
2. 然后根据期望的性质计算$E(X + 3Y)$：
   • 由期望的性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y$（$a,b$为常数），可得$E(X + 3Y)=E(X)+3E(Y)$。
   • 已知$X\sim P(3)$，则$E(X)=3$；$Y\sim N(1,2)$，则$E(Y)=1$。
   • 所以$E(X + 3Y)=3 + 3\times1=6$。
3. 接着根据方差的性质计算$D(X + 3Y)$：
   • 因为$X$与$Y$相互独立，由方差的性质$D(aX + bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)$（$a,b$为常数），可得$D(X + 3Y)=D(X)+3^{2}D(Y)$。
   • 已知$X\sim P(3)$，则$D(X)=3$；$Y\sim N(1,2)$，则$D(Y)=2$。
   • 所以$D(X + 3Y)=3 + 9\times2=3 + 18 = 21$。