【计算题】已知某型号电子产品的寿命服从参数为 (1)/(3) 的指数分布,抽取 50 件产品进行寿命试验,以 X 表示产品寿命大于 3 的件数,求:(1) X 服从的分布;(2)抽取的 50 件产品中至少有一件寿命大于 3 的概率。

本题主要考查指数分布和二项分布的相关知识。解题的关键在于先根据指数分布求出单个产品寿命大于 3 的概率，再利用二项分布的性质确定产品寿命大于 3 的件数所服从的分布，最后通过二项分布的概率公式计算至少有一件寿命大于 3 的概率。

（1）求 $X$ 服从的分布

• 已知产品寿命 $T$ 服从参数为 $\frac{1}{3}$ 的指数分布，即 $T \sim \text{Exp}(\frac{1}{3})$。
• 对于指数分布，其概率密度函数为 $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$（$t\geq0$），分布函数为 $F(t)=1 - e^{-\lambda t}$（$t\geq0$），其中 $\lambda$ 为参数。这里 $\lambda = \frac{1}{3}$。
• 要求单个产品寿命大于 3 的概率 $P(T > 3)$，根据概率的性质 $P(T > 3)=1 - P(T\leq3)$。
• 由分布函数可得 $P(T\leq3)=F(3)=1 - e^{-\frac{1}{3}\times3}=1 - e^{-1}$。
• 所以 $P(T > 3)=1-(1 - e^{-1}) = e^{-1}=\frac{1}{e}$。
• 现在进行 50 件产品的寿命试验，每件产品寿命是否大于 3 可看作是相互独立的伯努利试验，设 $X$ 表示产品寿命大于 3 的件数，每次试验成功（寿命大于 3）的概率为 $p = \frac{1}{e}$，试验次数 $n = 50$。
• 根据二项分布的定义，若随机变量 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中成功的次数，每次试验成功的概率为 $p$，则 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，即 $X\sim B(n,p)$。
• 所以 $X$ 服从参数为 $n = 50$ 和 $p = \frac{1}{e}$ 的二项分布，即 $X\sim B\left(50,\frac{1}{e}\right)$。

（2）求抽取的 50 件产品中至少有一件寿命大于 3 的概率

• 由（1）可知 $X\sim B\left(50,\frac{1}{e}\right)$，二项分布的概率公式为 $P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中 $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。
• 要求 $P(X\geq1)$，根据概率的性质 $P(X\geq1)=1 - P(X = 0)$。
• 当 $k = 0$ 时，$P(X = 0)=C_{50}^{0}\left(\frac{1}{e}\right)^{0}\left(1 - \frac{1}{e}\right)^{50 - 0}$。
• 因为 $C_{50}^{0}=\frac{50!}{0!(50 - 0)!}=1$，$\left(\frac{1}{e}\right)^{0}=1$，所以 $P(X = 0)=\left(1 - \frac{1}{e}\right)^{50}$。
• 则 $P(X\geq1)=1 - P(X = 0)=1 - \left(1 - \frac{1}{e}\right)^{50}=1 - \left(\frac{e - 1}{e}\right)^{50}$。