题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n 为来自总体 X 的一个样本，overline(X) 和 S^2 分别为样本均值和样本方差，则 (overline(X) - mu)/(frac(sigma){sqrt(n))}:(）。A. N(mu, sigma^2)B. N(0, 1)C. N(0, sigma^2)D. N(mu, 1)
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的一个样本，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$:(）。
A. $N(\mu, \sigma^2)$
B. $N(0, 1)$
C. $N(0, \sigma^2)$
D. $N(\mu, 1)$
题目解答
答案
B. $N(0, 1)$
解析
步骤 1：样本均值的分布
给定总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。这可以表示为：
\[ \overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]
其中 $n$ 是样本大小。
步骤 2：标准化样本均值
为了标准化样本均值 $\overline{X}$，我们从 $\overline{X}$ 中减去总体均值 $\mu$，然后除以 $\overline{X}$ 的标准差，即 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这给出：
\[ \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]
标准化一个正态随机变量，其均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$，结果是一个均值为 0，标准差为 1 的正态随机变量。因此，统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 服从标准正态分布，即 $N(0, 1)$。
步骤 3：结论
统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 的分布是 $N(0, 1)$。
给定总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。这可以表示为：
\[ \overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]
其中 $n$ 是样本大小。
步骤 2：标准化样本均值
为了标准化样本均值 $\overline{X}$，我们从 $\overline{X}$ 中减去总体均值 $\mu$，然后除以 $\overline{X}$ 的标准差，即 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这给出：
\[ \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]
标准化一个正态随机变量，其均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$，结果是一个均值为 0，标准差为 1 的正态随机变量。因此，统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 服从标准正态分布，即 $N(0, 1)$。
步骤 3：结论
统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 的分布是 $N(0, 1)$。