设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自总体 X square N(mu, sigma^2) 的样本,若统计量 是未知参数 sigma^2 的无偏估计,则常数C等于()。A. (1)/(n-1)B. (1)/(n)C. (1)/(2(n-1))D. (1)/(2n)

本题考查正态总体样本方差的性质以及无偏估计的概念。解题的关键在于利用无偏估计的定义，即估计量的数学期望等于被估计的参数，结合正态总体样本方差的性质来求解常数 $C$。

步骤一：明确无偏估计的定义

若统计量 $T$ 是未知参数 $\theta$ 的无偏估计，则 $E(T)=\theta$。在本题中，统计量 $C\sum_{i = 1}^{n - 1}(X_{i + 1}-X_{i})^2$ 是未知参数 $\sigma^2$ 的无偏估计，所以有 $E\left[C\sum_{i = 1}^{n - 1}(X_{i + 1}-X_{i})^2\right]=\sigma^2$。

步骤二：利用期望的性质化简等式

根据期望的线性性质 $E(aY)=aE(Y)$（其中 $a$ 为常数，$Y$ 为随机变量），可得：
$C\sum_{i = 1}^{n - 1}E\left[(X_{i + 1}-X_{i})^2\right]=\sigma^2$

步骤三：计算 $E\left[(X_{i + 1}-X_{i})^2\right]$

因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，所以 $X_{i + 1}$ 和 $X_{i}$ 相互独立，且 $E(X_{i + 1}) = E(X_{i}) = \mu$，$D(X_{i + 1}) = D(X_{i}) = \sigma^2$。
根据方差的性质 $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，可得 $E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2$。
对于 $X_{i + 1}-X_{i}$，有 $E(X_{i + 1}-X_{i}) = E(X_{i + 1}) - E(X_{i}) = \mu - \mu = 0$，$D(X_{i + 1}-X_{i}) = D(X_{i + 1}) + D(X_{i}) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$。
所以 $E\left[(X_{i + 1}-X_{i})^2\right]=D(X_{i + 1}-X_{i})+[E(X_{i + 1}-X_{i})]^2 = 2\sigma^2 + 0^2 = 2\sigma^2$。

步骤四：将 $E\left[(X_{i + 1}-X_{i})^2\right]=2\sigma^2$ 代入等式求解 $C$

$C\sum_{i = 1}^{n - 1}2\sigma^2=\sigma^2$
因为 $\sum_{i = 1}^{n - 1}1 = n - 1$，所以 $C\times 2(n - 1)\sigma^2=\sigma^2$。
等式两边同时除以 $\sigma^2$（$\sigma^2\neq 0$），得到 $2C(n - 1)=1$，解得 $C = \frac{1}{2(n - 1)}$。