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数学
题目

假设A是n阶方阵,其秩r<n,那么在A的n个行向量中( )A. 必有r个行向量线性无关B. 任意r个行向量线性无关C. 任意r个行向量都构成最大线性无关向量组D. 任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表出

假设A是n阶方阵,其秩r<n,那么在A的n个行向量中( )

A. 必有r个行向量线性无关

B. 任意r个行向量线性无关

C. 任意r个行向量都构成最大线性无关向量组

D. 任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表出

题目解答

答案

A. 必有r个行向量线性无关

解析

考查要点:本题主要考查矩阵秩的定义及其与行向量线性相关性的关系,重点理解最大线性无关组的概念。

解题核心思路:
矩阵的秩是其行向量组的最大线性无关组所含向量的个数。若秩为$r$,则行向量中必然存在$r$个线性无关的向量,但并非所有$r$个向量都满足这一性质,且单个向量能否被其他向量线性表出需具体分析。

破题关键点:

  • 选项A符合秩的定义,即存在$r$个线性无关的行向量。
  • 选项B、C、D均忽略了可能存在线性相关的情况或逻辑矛盾。

选项分析:

  1. 选项A:
    根据秩的定义,矩阵的秩$r$是行向量组的最大线性无关组的大小,因此必然存在$r$个行向量线性无关,正确。

  2. 选项B:
    若任意$r$个行向量均线性无关,则秩应为$n$,与$r < n$矛盾,错误。

  3. 选项C:
    最大线性无关组要求$r$个向量本身线性无关,但题目中可能存在$r$个线性相关的行向量,因此“任意$r$个”不成立,错误。

  4. 选项D:
    若某个行向量属于最大线性无关组,则它无法被其他$r$个向量(可能不包含它)线性表出,错误。

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