题目
已知X为连续型随机变量，且sim N(0,1)，sim N(0,1)是X的分布函数，若sim N(0,1)，则sim N(0,1).A.0.3B.0.5C.0.7D.a
已知X为连续型随机变量，且
，
是X的分布函数，若
，则
.
A.0.3
B.0.5
C.0.7
D.a
题目解答
答案
表示X服从标准正态分布，则
，
标准正态分布函数的定义为
，则
，
连续型随机变量一点处的概率值为0，则
，因此选择B。
解析
步骤 1：理解标准正态分布
$X\sim N(0,1)$表示X服从标准正态分布，其均值为0，方差为1。标准正态分布函数的定义为$\Phi (x)=P(X\leqslant x)$，即$\Phi (x)$表示随机变量X小于等于x的概率。
步骤 2：利用对称性
由于标准正态分布是关于均值0对称的，因此$P(X\leqslant a)=P(X\geqslant -a)$。这意味着，如果$(a)=0.5$，则$(-a)$也应等于0.5，因为$(-a)$表示随机变量X小于等于-a的概率，而由于对称性，这个概率与$P(X\leqslant a)$相等。
步骤 3：计算$(-a)$
根据步骤2的分析，$(-a)=P(X\leqslant -a)=P(X\geqslant a)=1-P(X\lt a)=1-P(X\leqslant a)+P(X=a)$。由于X是连续型随机变量，$P(X=a)=0$，因此$(-a)=1-(a)=1-0.5=0.5$。
$X\sim N(0,1)$表示X服从标准正态分布，其均值为0，方差为1。标准正态分布函数的定义为$\Phi (x)=P(X\leqslant x)$，即$\Phi (x)$表示随机变量X小于等于x的概率。
步骤 2：利用对称性
由于标准正态分布是关于均值0对称的，因此$P(X\leqslant a)=P(X\geqslant -a)$。这意味着，如果$(a)=0.5$，则$(-a)$也应等于0.5，因为$(-a)$表示随机变量X小于等于-a的概率，而由于对称性，这个概率与$P(X\leqslant a)$相等。
步骤 3：计算$(-a)$
根据步骤2的分析，$(-a)=P(X\leqslant -a)=P(X\geqslant a)=1-P(X\lt a)=1-P(X\leqslant a)+P(X=a)$。由于X是连续型随机变量，$P(X=a)=0$，因此$(-a)=1-(a)=1-0.5=0.5$。