设X_1, X_2, ..., X_8和Y_1, Y_2, ..., Y_(14)分别是来自独立总体X和Y的简单随机样本，其中X sim N(0,4)，Y sim N(0,7)，则E(|overline(X)-overline(Y)|)=_____.

我们来逐步解决这个题目： --- ### **题目已知条件：** - $X_1, X_2, \dots, X_8$ 是来自正态总体 $X \sim N(0, 4)$ 的简单随机样本。 - $Y_1, Y_2, \dots, Y_{14}$ 是来自正态总体 $Y \sim N(0, 7)$ 的简单随机样本。 - $X$ 和 $Y$ 相互独立。 - 要求：$E\left(\left|\overline{X} - \overline{Y}\right|\right)$。 --- ### **第一步：求样本均值的分布** #### 样本均值 $\overline{X}$： - 样本容量：$n_X = 8$ - 总体均值：$\mu_X = 0$，总体方差：$\sigma_X^2 = 4$ - 所以 $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{4}{8}\right) = N(0, 0.5)$ #### 样本均值 $\overline{Y}$： - 样本容量：$n_Y = 14$ - 总体均值：$\mu_Y = 0$，总体方差：$\sigma_Y^2 = 7$ - 所以 $\overline{Y} \sim N\left(0, \frac{7}{14}\right) = N(0, 0.5)$ --- ### **第二步：考虑 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布** 由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 也独立。 所以： $$ \overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(0 - 0, \mathrm{Var}(\overline{X}) + \mathrm{Var}(\overline{Y})\right) = N(0, 0.5 + 0.5) = N(0, 1) $$ 即： $$ \overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1) $$ --- ### **第三步：求 $E\left(|\overline{X} - \overline{Y}|\right)$** 令 $Z = \overline{X} - \overline{Y} \sim N(0, 1)$，即标准正态分布。 我们要求的是 $E(|Z|)$，即**标准正态分布的绝对值的期望**。 这是一个经典结果： $$ E(|Z|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}, \quad \text{当 } Z \sim N(0,1) $$ --- ### **推导一下 $E(|Z|)$（可选，帮助理解）** $$ E(|Z|) = \int_{-\infty}^{\infty} |z| \cdot \phi(z) \, dz = 2 \int_0^{\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz $$ 令 $u = z^2/2$，则 $du = z\,dz$，当 $z=0$, $u=0$；$z\to\infty$, $u\to\infty$ $$ = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} z e^{-z^2/2} dz = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} e^{-u} du = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot 1 = \sqrt{\frac{2}{\pi}} $$ --- ### **最终答案：** $$ E\left(\left|\overline{X} - \overline{Y}\right|\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} $$ --- ### **答：** $$ \boxed{\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}} $$