题目

22、(10分)设有向量组alpha_(1)=(1,0,2,1)^T,alpha_(2)=(1,2,0,1)^T,alpha_(3)=(2,1,3,0)^T,alpha_(4)=(2,5,-1,4)^T,alpha_(5)=(1,-1,3,-1)^T，求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.(答案写在答题卡对应位置)

22、(10分)设有向量组$\alpha_{1}=(1,0,2,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,0,1)^{T},\alpha_{3}=(2,1,3,0)^{T},\alpha_{4}=(2,5,-1,4)^{T},\alpha_{5}=(1,-1,3,-1)^{T}$，求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示. (答案写在答题卡对应位置)

题目解答

答案

为了求出向量组的秩、一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示，我们可以将这些列向量构成一个矩阵，并通过初等行变换将其化为行最简形矩阵。

已知向量组：
$\alpha_1 = (1, 0, 2, 1)^T$
$\alpha_2 = (1, 2, 0, 1)^T$
$\alpha_3 = (2, 1, 3, 0)^T$
$\alpha_4 = (2, 5, -1, 4)^T$
$\alpha_5 = (1, -1, 3, -1)^T$

构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5)$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\1 & 1 & 0 & 4 & -1\end{pmatrix}$

接下来对矩阵 $A$ 进行初等行变换：

  1. 将第1行的 $-2$ 倍加到第3行 ($r_3 - 2r_1$)，将第1行的 $-1$ 倍加到第4行 ($r_4 - r_1$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

  2. 将第2行加到第3行 ($r_3 + r_2$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

  3. 交换第3行和第4行 ($r_3 \leftrightarrow r_4$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

现在矩阵已经是一个阶梯形矩阵。我们可以看出非零行的数量为 $3$，因此矩阵的秩为 $3$，即向量组的秩为 $3$。

为了更直观地找出极大无关组以及线性表示的系数，我们继续将其化为行最简形矩阵：

  1. 将第3行乘以 $-\frac{1}{2}$ ($r_3 \times (-\frac{1}{2})$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

  2. 利用第3行消去其上方的元素。将第3行的 $-2$ 倍加到第1行 ($r_1 - 2r_3$)，将第3行的 $-1$ 倍加到第2行 ($r_2 - r_3$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

  3. 将第2行乘以 $\frac{1}{2}$ ($r_2 \times \frac{1}{2}$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

  4. 利用第2行消去其上方的元素。将第2行的 $-1$ 倍加到第1行 ($r_1 - r_2$)：
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

现在得到了行最简形矩阵。

推导结果分析：

  • 矩阵的秩为 $3$，所以向量组的秩为 $3$。
  • 行最简形矩阵中，主元（每行第一个非零元素）位于第1列、第2列和第3列。这意味着原向量组中的 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性无关的，构成一个极大无关组。
  • 第4列和第5列是非主元列，它们可以由主元列线性表示。根据行最简形矩阵的列向量关系：
    第4列 $= 1 \times$ 第1列 $+ 3 \times$ 第2列 $+ (-1) \times$ 第3列
    第5列 $= 0 \times$ 第1列 $+ (-1) \times$ 第2列 $+ 1 \times$ 第3列

将其对应回原向量组，可得：
$\alpha_4 = 1\alpha_1 + 3\alpha_2 - 1\alpha_3$
$\alpha_5 = 0\alpha_1 - 1\alpha_2 + 1\alpha_3$

最终答案：
向量组的秩为 $3$。
一个极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
其余向量用该极大无关组线性表示为：
$\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3$
$\alpha_5 = -\alpha_2 + \alpha_3$

解析

本题考查向量组的秩、极大无关组的求解以及向量用极大无关组线性表示的知识。解题思路是将向量组构成矩阵，通过初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵，根据行最简形矩阵的性质来确定向量组的秩、极大无关组，并找出其余向量用极大无关组线性表示的系数。

  1. 构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5)$：
    已知 $\alpha_1 = (1, 0, 2, 1)^T$，$\alpha_2 = (1, 2, 0, 1)^T$，$\alpha_3 = (2, 1, 3, 0)^T$，$\alpha_4 = (2, 5, -1, 4)^T$，$\alpha_5 = (1, -1, 3, -1)^T$，则
    $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\1 & 1 & 0 & 4 & -1\end{pmatrix}$
  2. 进行初等行变换：
    • 将第1行的 $-2$ 倍加到第3行 ($r_3 - 2r_1$)，将第1行的 $-1$ 倍加到第4行 ($r_4 - r_1$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
    • 将第2行加到第3行 ($r_3 + r_2$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
    • 交换第3行和第4行 ($r_3 \leftrightarrow r_4$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
      此时矩阵为阶梯形矩阵，非零行的数量为 $3$，所以矩阵的秩为 $3$，即向量组的秩为 $3$。
  3. 继续化为行最简形矩阵：
    • 将第3行乘以 $-\frac{1}{2}$ ($r_3 \times (-\frac{1}{2})$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    • 利用第3行消去其上方的元素。将第3行的 $-2$ 倍加到第1行 ($r_1 - 2r_3$)，将第3行的 $-1$ 倍加到第2行 ($r_2 - r_3$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    • 将第2行乘以 $\frac{1}{2}$ ($r_2 \times \frac{1}{2}$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    • 利用第2行消去其上方的元素。将第2行的 $-1$ 倍加到第1行 ($r_1 - r_2$)：
      $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
  4. 确定极大无关组和线性表示：
    行最简形矩阵中，主元位于第1列、第2列和第3列，所以原向量组中的 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是线性无关的，构成一个极大无关组。
    根据行最简形矩阵的列向量关系：
    第4列 $= 1 \times$ 第1列 $+ 3 \times$ 第2列 $+ (-1) \times$ 第3列
    第5列 $= 0 \times$ 第1列 $+ (-1) \times$ 第2列 $+ 1 \times$ 第3列
    对应回原向量组，可得：
    $\alpha_4 = 1\alpha_1 + 3\alpha_2 - 1\alpha_3$
    $\alpha_5 = 0\alpha_1 - 1\alpha_2 + 1\alpha_3$