题目
用波长为624 nm的单色平行光垂直照射一光栅,已知该光栅的缝宽https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0054c2fdae0adae82f7cae0c3df087b5.jpg=0.012mm,不透光部分宽度https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0e013134863ed4fa295cb6485d733671.jpg=0.012mm,缝数https:/img.zuoyebang.cc/zyb_80b1c012193e86d14a6a0090ae3770c9.jpg=0.012mm.试问:(1)在单缝衍射中央明纹区域内,将出现多少个干涉主极大? (2)在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离https:/img.zuoyebang.cc/zyb_6f0f80d25564c6515fcb6254fce4b085.jpg=0.012mm为多少?
用波长为624 nm的单色平行光垂直照射一光栅,已知该光栅的缝宽
,不透光部分宽度
,缝数
.试问:(1)在单缝衍射中央明纹区域内,将出现多少个干涉主极大? (2)在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离
为多少?
题目解答
答案
(1) 在单缝衍射中央明纹区域内，干涉主极大的数量可以通过夫琅禾费衍射公式计算得到。根据夫琅禾费衍射公式：
，
其中，
为相邻两缝中心之间的距离，
为衍射角度，
为干涉级次，
为入射光波长。
对于一个有 
个缝的光栅，相邻两缝中心之间的距离可以表示为：
，
其中，
为单缝宽度，
为不透光部分宽度。
代入已知数据：
，可以得到相邻两缝中心之间的距离：
。
在单缝衍射中央明纹区域内，衍射角度接近零，可将正弦函数进行线性近似：
，
这样可以简化计算。
设在中央明纹区域内有 
个干涉主极大，则根据夫琅禾费衍射公式有：
，
其中，
为中央明纹的衍射角度。
利用线性近似可得：
，
因此，可以得到中央明纹区域内出现的干涉主极大数量：
。
代入已知数据，可以计算得到：
。
所以在单缝衍射中央明纹区域内将出现 3 个干涉主极大。
(2) 在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离可以通过干涉条纹的正弦条件和微分近似计算得到。根据干涉条纹的正弦条件：
，
其中，
为零级主极大的衍射角度，为相邻两个极小之间的角距离。
利用线性近似，可以将正弦函数进行展开：
。
上式化简后，可得到相邻两个极小之间的角距离：
。
代入已知数据，可以计算得到：
。
所以在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离约为 15.2°。
综上所述，在单缝衍射中央明纹区域内将出现 3 个干涉主极大，而在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离约为 15.2 °。
解析
步骤 1：计算相邻两缝中心之间的距离
根据光栅的结构，相邻两缝中心之间的距离可以表示为：
$d=\dfrac {l+b}{N}$，
其中，$l$为单缝宽度，$b$为不透光部分宽度，$N$为缝数。
代入已知数据：$l=0.012mm$，$b=0.029mm$，$N=1000$，可以得到相邻两缝中心之间的距离：
$d=\dfrac {0.012+0.029}{1000}=4.1\times {10}^{-5}mm=4.1\times {10}^{-2}km$。
步骤 2：计算单缝衍射中央明纹区域内出现的干涉主极大数量
在单缝衍射中央明纹区域内，衍射角度接近零，可将正弦函数进行线性近似：
$\sin (\theta )\approx \theta $，
这样可以简化计算。
设在中央明纹区域内有$M$个干涉主极大，则根据夫琅禾费衍射公式有：
$M\lambda =d\theta $，
其中，$\theta $为中央明纹的衍射角度。
利用线性近似可得：
$M\lambda =d\theta \approx d\theta $，
因此，可以得到中央明纹区域内出现的干涉主极大数量：
$M\approx \dfrac {d\theta }{\lambda }$。
代入已知数据，可以计算得到：
$M\approx \dfrac {4.1\times {10}^{-2}\times 0.052}{0.624}\approx 3.43$。
所以在单缝衍射中央明纹区域内将出现 3 个干涉主极大。
步骤 3：计算零级主极大一侧相邻两个极小之间的角距离
在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离可以通过干涉条纹的正弦条件和微分近似计算得到。根据干涉条纹的正弦条件：
$\sin ({\theta }_{min}+\Delta \theta )-d\sin (\theta )=(m+1)\lambda $，
其中，${\theta }_{min}$为零级主极大的衍射角度，$\Delta \theta $为相邻两个极小之间的角距离。
利用线性近似，可以将正弦函数进行展开：
$(\sin ({\theta }_{min})+\cos ({\theta }_{min})\Delta \theta )-d\sin (\theta )(min)=(m+1)\lambda $。
上式化简后，可得到相邻两个极小之间的角距离：
$\Delta \theta \approx \dfrac {(m+1)\lambda }{d\cos ({\theta }_{min})}$。
代入已知数据，可以计算得到：
$\Delta \theta \approx \dfrac {0.624\times {10}^{-3}}{4.1\times {10}^{-5}}=15.2$。
所以在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离约为 15.2°。
根据光栅的结构，相邻两缝中心之间的距离可以表示为：
$d=\dfrac {l+b}{N}$，
其中，$l$为单缝宽度，$b$为不透光部分宽度，$N$为缝数。
代入已知数据：$l=0.012mm$，$b=0.029mm$，$N=1000$，可以得到相邻两缝中心之间的距离：
$d=\dfrac {0.012+0.029}{1000}=4.1\times {10}^{-5}mm=4.1\times {10}^{-2}km$。
步骤 2：计算单缝衍射中央明纹区域内出现的干涉主极大数量
在单缝衍射中央明纹区域内，衍射角度接近零，可将正弦函数进行线性近似：
$\sin (\theta )\approx \theta $，
这样可以简化计算。
设在中央明纹区域内有$M$个干涉主极大，则根据夫琅禾费衍射公式有：
$M\lambda =d\theta $，
其中，$\theta $为中央明纹的衍射角度。
利用线性近似可得：
$M\lambda =d\theta \approx d\theta $，
因此，可以得到中央明纹区域内出现的干涉主极大数量：
$M\approx \dfrac {d\theta }{\lambda }$。
代入已知数据，可以计算得到：
$M\approx \dfrac {4.1\times {10}^{-2}\times 0.052}{0.624}\approx 3.43$。
所以在单缝衍射中央明纹区域内将出现 3 个干涉主极大。
步骤 3：计算零级主极大一侧相邻两个极小之间的角距离
在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离可以通过干涉条纹的正弦条件和微分近似计算得到。根据干涉条纹的正弦条件：
$\sin ({\theta }_{min}+\Delta \theta )-d\sin (\theta )=(m+1)\lambda $，
其中，${\theta }_{min}$为零级主极大的衍射角度，$\Delta \theta $为相邻两个极小之间的角距离。
利用线性近似，可以将正弦函数进行展开：
$(\sin ({\theta }_{min})+\cos ({\theta }_{min})\Delta \theta )-d\sin (\theta )(min)=(m+1)\lambda $。
上式化简后，可得到相邻两个极小之间的角距离：
$\Delta \theta \approx \dfrac {(m+1)\lambda }{d\cos ({\theta }_{min})}$。
代入已知数据，可以计算得到：
$\Delta \theta \approx \dfrac {0.624\times {10}^{-3}}{4.1\times {10}^{-5}}=15.2$。
所以在零级主极大一侧，相邻两个极小之间的角距离约为 15.2°。