(7)设 sim N(0,1) ,求 Y=|X| 的概率密度。

步骤 1：确定 X 的概率密度函数
由于 $X\sim N(0,1)$，即 X 服从标准正态分布，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
步骤 2：确定 Y 的累积分布函数
Y = |X|，因此 Y 的累积分布函数为：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y)
$$
步骤 3：计算 Y 的累积分布函数
根据 X 的概率密度函数，可以计算 Y 的累积分布函数：
$$
F_Y(y) = \int_{-y}^{y} f_X(x) dx = \int_{-y}^{y} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx
$$
步骤 4：计算 Y 的概率密度函数
Y 的概率密度函数为 Y 的累积分布函数的导数：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \int_{-y}^{y} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx
$$
步骤 5：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，可以得到：
$$
f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}
$$
步骤 6：简化 Y 的概率密度函数
简化 Y 的概率密度函数，得到：
$$
f_Y(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}
$$
步骤 7：确定 Y 的概率密度函数的定义域
由于 Y = |X|，因此 Y 的概率密度函数的定义域为 $y \geq 0$。