当X＞0时,求证：sinx+cosx＞1+x-x2

本题考查利用导数证明不等式，解题的关键思路是通过构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，进而证明不等式。

1. 构造函数：
   为了证明$\sin x+\cos x\gt1 + x - x^{2}$（$x\gt0$），我们构造函数$f(x)=\sin x+\cos x - 1 - x + x^{2}$。若能证明当$x\gt0$时，$f(x)\gt0$，则原不等式得证。
2. 求一阶导数：
   根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$f(x)$求导可得：
   $f^\prime(x)=(\sin x+\cos x - 1 - x + x^{2})^\prime=\cos x-\sin x - 1 + 2x$。
3. 求二阶导数：
   对$f^\prime(x)$再次求导，$f^{\prime\prime}(x)=(\cos x-\sin x - 1 + 2x)^\prime=-\sin x-\cos x + 2$。
4. 判断二阶导数的正负性：
   因为$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，$-1\leqslant\cos x\leqslant1$，所以$-\sin x-\cos x\geqslant - 2$，则$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\cos x + 2\geqslant - 2 + 2 = 0$。
   又因为当$x\gt0$时，$\sin x$与$\cos x$不同时取$-1$，所以$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\cos x + 2\gt0$。
   这表明$f^\prime(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
5. 判断一阶导数的正负性：
   计算$f^\prime(0)$的值，$f^\prime(0)=\cos 0-\sin 0 - 1 + 2\times0=1 - 0 - 1+0 = 0$。
   由于$f^\prime(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$x\gt0$，所以$f^\prime(x)\gt f^\prime(0)=0$。
   这说明$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
6. 判断原函数的正负性：
   计算$f(0)$的值，$f(0)=\sin 0+\cos 0 - 1 - 0 + 0^{2}=0 + 1 - 1+0 = 0$。
   因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$x\gt0$，所以$f(x)\gt f(0)=0$，即$\sin x+\cos x - 1 - x + x^{2}\gt0$，移项可得$\sin x+\cos x\gt1 + x - x^{2}$（$x\gt0$）。