题目
7【填空题】设两个随机变量X与Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则D(X+Y)=____，D(X-Y)=____我的答案：第一空：85第二空：37正确答案：第一空：85第二空：37
7【填空题】设两个随机变量X与Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则D(X+Y)=____，D(X-Y)=____
我的答案：
第一空：85
第二空：37
正确答案：
第一空：85
第二空：37
题目解答
答案
为了求解 $D(X+Y)$ 和 $D(X-Y)$，我们需要使用方差的性质和相关系数的定义。方差的性质之一是对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y)\]
\[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \text{Cov}(X, Y)\]
其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。相关系数 $\rho_{XY}$ 的定义是：
\[\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\]
已知 $D(X) = 25$，$D(Y) = 36$，$\rho_{XY} = 0.4$，我们可以先求出 $\text{Cov}(X, Y)$：
\[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)} = 0.4 \sqrt{25 \times 36} = 0.4 \times 5 \times 6 = 12\]
现在，我们可以求 $D(X+Y)$：
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) = 25 + 36 + 2 \times 12 = 25 + 36 + 24 = 85\]
接下来，求 $D(X-Y)$：
\[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \text{Cov}(X, Y) = 25 + 36 - 2 \times 12 = 25 + 36 - 24 = 37\]
因此，答案是：
\[\boxed{85, 37}\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量和与差的方差计算，涉及方差性质和相关系数与协方差的关系。
解题核心思路：
- 方差性质：对于两个随机变量$X$和$Y$，有：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$ - 协方差与相关系数的关系：相关系数$\rho_{XY}$定义为：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
由此可求出协方差$\text{Cov}(X,Y)$，再代入方差公式计算即可。
破题关键：正确计算协方差，并区分和与差的方差公式中符号的差异。
步骤1：计算协方差
已知$D(X)=25$，$D(Y)=36$，相关系数$\rho_{XY}=0.4$，根据相关系数定义：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)D(Y)} = 0.4 \cdot \sqrt{25 \times 36} = 0.4 \cdot 5 \cdot 6 = 12$
步骤2：计算$D(X+Y)$
根据方差性质：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = 25 + 36 + 2 \times 12 = 85$
步骤3：计算$D(X-Y)$
同理：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y) = 25 + 36 - 2 \times 12 = 37$