4.1 假设在某个地区的疾病普查中，正常细胞(omega_(1))和异常细胞(omega_(2))两类的先验概率分别为P(omega_(1))=0.9，P(omega_(2))=0.1。现在有一待识别的细胞，其观察值为x，从类条件概率密度函数曲线上查得：p(x|omega_(1))=0.2，p(x|omega_(2))=0.4试对该细胞x利用最小误判概率贝叶斯准则进行分类。

考查要点：本题主要考查贝叶斯分类准则的应用，特别是如何利用后验概率进行分类决策。

解题核心思路：

1. 计算总概率密度 $p(x)$，即根据全概率公式将两类的条件概率密度与先验概率结合。
2. 计算后验概率 $P(\omega_1|x)$ 和 $P(\omega_2|x)$，通过比较后验概率的大小决定分类结果。
3. 分类决策：将样本分到后验概率更大的类别中。

破题关键点：

• 贝叶斯定理的正确应用，明确后验概率的计算公式。
• 比较后验概率或分子部分（即 $p(x|\omega)P(\omega)$）的大小即可分类，无需显式计算后验概率的具体值。

步骤1：计算总概率密度 $p(x)$

根据全概率公式：
$p(x) = p(x|\omega_1)P(\omega_1) + p(x|\omega_2)P(\omega_2) = 0.2 \times 0.9 + 0.4 \times 0.1 = 0.22$

步骤2：计算后验概率

• 正常细胞的后验概率：
  $P(\omega_1|x) = \frac{p(x|\omega_1)P(\omega_1)}{p(x)} = \frac{0.2 \times 0.9}{0.22} \approx 0.8182$
• 异常细胞的后验概率：
  $P(\omega_2|x) = \frac{p(x|\omega_2)P(\omega_2)}{p(x)} = \frac{0.4 \times 0.1}{0.22} \approx 0.1818$

步骤3：分类决策

比较后验概率：
$P(\omega_1|x) \approx 0.8182 > P(\omega_2|x) \approx 0.1818$
因此，细胞 $x$ 应分类为正常细胞 $\omega_1$。