题目

用分块矩阵求矩阵 A = } 2 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 5 0 & 0 & 1 & 3 的逆矩阵是（） A. } 1 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -5 0 & 0 & -1 & 2 B. } 1 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 0 & 0 & -5 & 2 C. } 3 & -5 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2

用分块矩阵求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} $的逆矩阵是（）

  • A. $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
  • B. $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 \end{pmatrix}$
  • C. $\begin{pmatrix} 3 & -5 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

为了求矩阵 $ A = \left(\begin{matrix}2&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&2&5\\0&0&1&3\end{matrix}\right) $ 的逆矩阵，我们可以使用分块矩阵的方法。矩阵 $ A $ 可以分块为： \[ A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} \] 其中 \[ A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] 分块对角矩阵的逆矩阵等于每个分块矩阵的逆矩阵构成的分块对角矩阵。因此，我们需要分别求 $ A_1 $ 和 $ A_2 $ 的逆矩阵。 首先，求 $ A_1 $ 的逆矩阵。一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵 $ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ 的逆矩阵是 $ \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $。对于 $ A_1 $，我们有： \[ A_1^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] 接下来，求 $ A_2 $ 的逆矩阵。对于 $ A_2 $，我们有： \[ A_2^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 3 - 5 \cdot 1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] 现在，将 $ A_1^{-1} $ 和 $ A_2^{-1} $ 构成分块对角矩阵，得到 $ A $ 的逆矩阵： \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 \\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

分块矩阵求逆的关键在于将原矩阵分解为可逆的子块，再分别求逆后重新组合。本题中，矩阵$A$为分块对角矩阵，即非对角线块均为零矩阵，因此其逆矩阵可由各对角线子块的逆矩阵直接拼接而成。需注意：

  1. 分块正确性：确认子块的行列划分是否合理；
  2. 子块可逆性：验证每个子块的行列式是否非零；
  3. 逆矩阵拼接：保持原分块结构，将子块的逆矩阵填回对应位置。

分块矩阵分解

将矩阵$A$按如下方式分块：
$A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}, \quad A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

求子块的逆矩阵

$A_1^{-1}$的计算

  • 行列式：$\det(A_1) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$；
  • 逆矩阵公式：
    $A_1^{-1} = \frac{1}{\det(A_1)} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A_2^{-1}$的计算

  • 行列式：$\det(A_2) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 1 \neq 0$；
  • 逆矩阵公式：
    $A_2^{-1} = \frac{1}{\det(A_2)} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

组合逆矩阵

将$A_1^{-1}$和$A_2^{-1}$按原分块结构拼接：
$A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 \\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$