设函数 f(x)=lim_(n to infty) (1+x)/(1+x^2n)，则下列结论成立的是（）A. f(x) 有间断点 x=0B. f(x) 有间断点 x=-1C. f(x) 无间断点D. f(x) 有间断点 x=1

本题考查函数极限的计算以及函数间断点的判断。解题思路是先根据$x$取值范围的不同求出函数$f(x)$的表达式，再分析函数在不同点处的连续性，从而确定间断点。

步骤一：根据$x$的取值范围求$f(x)$的表达式

• 当$\vert x\vert\gt 1$时，$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = +\infty$，则$f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = 0$。
• 当$\vert x\vert\lt 1$时，$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$，则$f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = 1 + x$。
• 当$x = 1$时，$f(1)=\frac{1 + 1}{1 + 1^{2n}} = 1$。
• 当$x = -1$时，$f(-1)=\frac{1 - 1}{1 + (-1)^{2n}} = 0$。

综上，函数$f(x)$的表达式为$f(x)=\begin{cases}0, & x\lt -1或x\gt 1 \\ 1 + x, & -1\lt x\lt 1 \\ 0, & x = -1 \\ 1, & x = 1\end{cases}$。

步骤二：分析函数在各点处的连续性

• 判断$x = 0$处的连续性：
  $\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1$，$\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0^+} (1 + x) = 1$，且$f(0)=1 + 0 = 1$，因为$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x)=f(0)$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处连续。
• 判断$x = -1$处的连续性：
  $\lim_{x \to -1^-} f(x)=\lim_{x \to -1^-} 0 = 0$，$\lim_{x \to -1^+} f(x)=\lim_{x \to -1^+} (1 + x) = 0$，且$f(-1)=0$，因为$\lim_{x \to -1^-} f(x)=\lim_{x \to -1^+} f(x)=f(-1)$，所以函数$f(x)$在$x = -1$处连续。
• 判断$x = 1$处的连续性：
  $\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} (1 + x) = 2$，$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 0 = 0$，因为$\lim_{x \to 1^-} f(x)\neq\lim_{x \to 1^+} f(x)$，所以函数$f(x)$在$x = 1$处不连续，即$x = 1$是函数$f(x)$的间断点。