设随机变量X,Y的期望和方差分别为mathbb(E)(X)=0.5,mathbb(E)(Y)=-0.5,D(X)=D(Y)=0.75,mathbb(E)(XY)=0，则X,Y的相关系数rho_(XY)=____.
设随机变量X,Y的期望和方差分别为$\mathbb{E}(X)=0.5,\mathbb{E}(Y)=-0.5,D(X)=D(Y)=0.75,\mathbb{E}(XY)=0$，则X,Y的相关系数$\rho_{XY}=$____.
题目解答
答案
相关系数 $\rho_{XY}$ 的公式为：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中，协方差 $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，标准差 $\sigma_X = \sqrt{D(X)}$，$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$。
已知 $E(X) = 0.5$，$E(Y) = -0.5$，$D(X) = D(Y) = 0.75$，$E(XY) = 0$，代入得：
$\text{Cov}(X, Y) = 0 - (0.5) \times (-0.5) = 0.25$
$\sigma_X = \sigma_Y = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\rho_{XY} = \frac{0.25}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3}$
答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
本题考查随机变量相关系数的计算，解题思路是先根据已知条件求出随机变量$X$与$Y$的协方差$\text{Cov}(X,Y)$，再分别求出$X$与$Y$的标准差$\sigma_X$和$\sigma_Y$，最后根据相关系数的定义公式$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$计算出$X$与$Y$的相关系数。
- 计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$：
根据协方差的计算公式$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$，已知$\mathbb{E}(X)=0.5$，$\mathbb{E}(Y)= -0.5$，$\mathbb{E}(XY)=0$，将其代入公式可得：
$\text{Cov}(X, Y)=0 - 0.5\times(-0.5)=0.25$ - 计算标准差$\sigma_X$和$\sigma_Y$：
根据标准差与方差的关系$\sigma_X = \sqrt{D(X)}$，$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$，已知$D(X)=D(Y)=0.75$，则：
$\sigma_X = \sqrt{0.75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sigma_Y = \sqrt{0.75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 计算相关系数$\rho_{XY}$：
根据相关系数的定义公式$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，将$\text{Cov}(X, Y)=0.25$，$\sigma_X = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sigma_Y = \frac{\sqrt{3}}{2}$代入可得：
$\rho_{XY} = \frac{0.25}{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{0.25}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$