题目
某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰有i(i =0,1,2,3,4)个次品的概率如下:一批产品中有次品数 0 1 2 3 4-|||-概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1求:(1)各批产品通过检查的概率。(2)通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率(i=0,1,2,3,4)。
某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰有$$i(i =0,1,2,3,4)$$个次品的概率如下:
求:(1)各批产品通过检查的概率。
(2)通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率$$(i=0,1,2,3,4)$$。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件$B_i$表示一批产品中有$i$个次品，$i=0,1,2,3,4$。设事件$A$表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，$P(B_0)=0.1$，$P(B_1)=0.2$，$P(B_2)=0.4$，$P(B_3)=0.2$，$P(B_4)=0.1$。对于事件$A$，当一批产品中有$i$个次品时，$A$发生的概率为$P(A|B_i)$，即从$100-i$个合格品中抽取10个的概率。
步骤 3：计算$P(A|B_i)$
$P(A|B_0)=1$，因为没有次品，所以10个都是合格品。
$P(A|B_1)=\dfrac{{C}_{99}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从99个合格品中抽取10个。
$P(A|B_2)=\dfrac{{C}_{98}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从98个合格品中抽取10个。
$P(A|B_3)=\dfrac{{C}_{97}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从97个合格品中抽取10个。
$P(A|B_4)=\dfrac{{C}_{96}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从96个合格品中抽取10个。
步骤 4：计算各批产品通过检查的概率
根据全概率公式，$P(A)=\sum_{i=0}^{4}P(B_i)P(A|B_i)$。
步骤 5：计算通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率
根据贝叶斯公式，$P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$。
设事件$B_i$表示一批产品中有$i$个次品，$i=0,1,2,3,4$。设事件$A$表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，$P(B_0)=0.1$，$P(B_1)=0.2$，$P(B_2)=0.4$，$P(B_3)=0.2$，$P(B_4)=0.1$。对于事件$A$，当一批产品中有$i$个次品时，$A$发生的概率为$P(A|B_i)$，即从$100-i$个合格品中抽取10个的概率。
步骤 3：计算$P(A|B_i)$
$P(A|B_0)=1$，因为没有次品，所以10个都是合格品。
$P(A|B_1)=\dfrac{{C}_{99}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从99个合格品中抽取10个。
$P(A|B_2)=\dfrac{{C}_{98}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从98个合格品中抽取10个。
$P(A|B_3)=\dfrac{{C}_{97}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从97个合格品中抽取10个。
$P(A|B_4)=\dfrac{{C}_{96}^{10}}{{C}_{100}^{10}}$，从96个合格品中抽取10个。
步骤 4：计算各批产品通过检查的概率
根据全概率公式，$P(A)=\sum_{i=0}^{4}P(B_i)P(A|B_i)$。
步骤 5：计算通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率
根据贝叶斯公式，$P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$。