题目
6-9 [2003数学一] 设总体X的概率密度为-|||-__ f(x)= ) 2(e)^-2(x-theta ), xgt theta 0, xleqslant theta =min-|||-(X1,X2,···,Xn).-|||-(1)求总体X的分布函数F(x);-|||-(2)求统计量θ的分布函数F6(x);-|||-(3)如果用θ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求总体X的分布函数F(x)
总体X的概率密度函数为 f(x)= $\left \{ \begin{matrix} 2{e}^{-2(x-\theta )},\quad x\gt \theta ;\\ 0,\quad x\leqslant \theta \end{matrix} \right.$
分布函数F(x)定义为F(x) = P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。因此，对于x > θ，我们有
F(x) = $\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ = $\int_{\theta}^{x} 2e^{-2(t-\theta)} dt$ = $[-e^{-2(t-\theta)}]_{\theta}^{x}$ = $1 - e^{-2(x-\theta)}$。
对于x ≤ θ，由于f(x) = 0，所以F(x) = 0。
步骤 2：求统计量θ的分布函数F6(x)
统计量θ = min(X1, X2, ..., Xn)的分布函数F6(x)定义为F6(x) = P(θ ≤ x)。由于θ = min(X1, X2, ..., Xn)，所以θ ≤ x当且仅当所有的Xi ≤ x。因此，F6(x) = P(X1 ≤ x, X2 ≤ x, ..., Xn ≤ x) = P(X1 ≤ x)P(X2 ≤ x)...P(Xn ≤ x) = [F(x)]^n。
步骤 3：讨论θ作为θ的估计量是否具有无偏性
θ的期望值E(θ) = $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{\hat{\theta}}(x) dx$，其中$f_{\hat{\theta}}(x)$是θ的概率密度函数。根据步骤2，我们有$f_{\hat{\theta}}(x) = 2n e^{-2n(x-\theta)}$，x > θ。因此，E(θ) = $\int_{\theta}^{+\infty} x 2n e^{-2n(x-\theta)} dx$。利用分部积分法，我们可以求得E(θ) = $\theta + \frac{1}{2n}$。由于E(θ) ≠ θ，所以θ作为θ的估计量不具有无偏性。
总体X的概率密度函数为 f(x)= $\left \{ \begin{matrix} 2{e}^{-2(x-\theta )},\quad x\gt \theta ;\\ 0,\quad x\leqslant \theta \end{matrix} \right.$
分布函数F(x)定义为F(x) = P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。因此，对于x > θ，我们有
F(x) = $\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ = $\int_{\theta}^{x} 2e^{-2(t-\theta)} dt$ = $[-e^{-2(t-\theta)}]_{\theta}^{x}$ = $1 - e^{-2(x-\theta)}$。
对于x ≤ θ，由于f(x) = 0，所以F(x) = 0。
步骤 2：求统计量θ的分布函数F6(x)
统计量θ = min(X1, X2, ..., Xn)的分布函数F6(x)定义为F6(x) = P(θ ≤ x)。由于θ = min(X1, X2, ..., Xn)，所以θ ≤ x当且仅当所有的Xi ≤ x。因此，F6(x) = P(X1 ≤ x, X2 ≤ x, ..., Xn ≤ x) = P(X1 ≤ x)P(X2 ≤ x)...P(Xn ≤ x) = [F(x)]^n。
步骤 3：讨论θ作为θ的估计量是否具有无偏性
θ的期望值E(θ) = $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{\hat{\theta}}(x) dx$，其中$f_{\hat{\theta}}(x)$是θ的概率密度函数。根据步骤2，我们有$f_{\hat{\theta}}(x) = 2n e^{-2n(x-\theta)}$，x > θ。因此，E(θ) = $\int_{\theta}^{+\infty} x 2n e^{-2n(x-\theta)} dx$。利用分部积分法，我们可以求得E(θ) = $\theta + \frac{1}{2n}$。由于E(θ) ≠ θ，所以θ作为θ的估计量不具有无偏性。