题目

1.设总体 sim N(60,(15)^2), 从总体中抽取容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差-|||-的绝对值大于3的概率.

题目解答

答案

解析

解析
本题考查正态分布的性质以及样本均值的抽样分布相关知识。解题的关键思路是先根据总体的分布和样本容量确定样本均值的分布，再将所求概率问题转化为标准正态分布的概率问题进行计算。

  1. 确定样本均值的分布：
    已知总体$X\sim N(60,15^{2})$，样本容量$n = 100$。根据正态分布的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，从中抽取容量为$n$的样本，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
    在本题中，$\mu = 60$，$\(\sigma = 15$，$n = 100$，所以样本均值$\overline{X}\sim N(60,\frac{15^{2}}{100})$，即$\overline{X}\sim N(60,1.5^{2})$。
  2. 将所求概率进行转化：
    要求样本均值与总体均值之差的绝对值大于$3$的概率，即$P(|\overline{X}-60|>3)$。
    根据绝对值不等式的性质$P(|\overline{X}-60|>3)=P(\overline{X}-60>3)+P(\overline{X}-60 < - 3)$。
    进一步变形为$P(\overline{X}>63)+P(\overline{X}<57)$。
  3. 标准化处理：
    为了方便计算，将$\overline{X}$进行标准化，令$Z=\frac{\overline{X - \mu\}}{\sigma/\sqrt{n}}$，这里$\mu = 60$，$\sigma = 15$，$n = 100$，则$Z=\frac{\overline{X}-60}{15/\sqrt{100}}\sim N(0,1)$。
    那么$P(\overline{X}>63)=P(\frac{\overline{X - 60\}}{15/\sqrt{100}}>\frac{63 - 60}{15/\sqrt{100})=P(Z > 2)$。
    $P(\overline{X}<57)=P(\frac{\overline{X}-60}{15/\sqrt{100}}<\frac{57 - 60}{15/\sqrt{100}})=P(Z < - 2)$。
    所以$P(|\overline{X}-60|>3)=P(Z > 2)+P(Z < - 2)$。
  4. 利用标准正态分布的性质计算概率：
    由于标准正态分布关于$对称，即\(P(Z > 2)=P(Z < - 2)$，且$P(Z > 2)+P(Z < 2)=1$，所以$P(Z > 2)=\frac{1 - P(-2\leq Z\leq2)}{2}$。
    查标准正态分布表可得$\varPhi(2)=P(Z\leq2)=0.9772$，则$P(-2\leq Z\leq2)=\varPhi(2)-\varPhi(-2)=2\varPhi(2)-1=2\times0.9772 - 1 = 0.9544$。
    所以$P(Z > 2)=\frac{1 - 0.9544}{2}=0.0228$。
    那么$P(|\overline{X}-60|>3)=2\times0.0228 = 0.0456$。