题目
16.判断题设总体X：N(mu,sigma^2)，sigma^2已知，若样本容量和置信度都不变，则对于不同的样本观察值，总体均值μ的置信区间长度不变。()A. 对B. 错
16.判断题
设总体$X：N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，若样本容量和置信度都不变，则对于不同的样本观察值，总体均值μ的置信区间长度不变。()
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查正态正态总体均值的置信区间长度的相关知识。解题思路是先明确总体均值$\mu$的置信区间的计算公式，再分析其长度与样本观察值的关系。
- 对于正态总体$X:N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，总体均值$\mu$的置信区间为$\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\fracalpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ )，其中$\overline{X}$是样本均值，$z_{\fracalpha}{2}}$是标准正态分布分布分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$n$是样本容量。
- 该置信区间的长度为$2z_{\fracalpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，可以看出其长度只与样本容量$n$、置信度$\alpha$和总体标准差$\sigma$有关，而与样本观察值无关。
- 因为题目中样本容量和置信度都不变，总体标准差$\sigma$也不变，所以总体均值$\mu$的置信区间长度不变。