题目

6.[填空题]设两个相互独立的随机变量X,Y的方差分别为1，2，则随机变量-X-2Y的方差是_____.

6.[填空题]设两个相互独立的随机变量$X,Y$的方差分别为1，2，则随机变量$-X-2Y$的方差是_____.

题目解答

答案

根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有： \[ \text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) \] 设 $a = -1$，$b = -2$，$\text{Var}(X) = 1$，$\text{Var}(Y) = 2$，则： \[ \text{Var}(-X - 2Y) = (-1)^2 \times 1 + (-2)^2 \times 2 = 1 + 8 = 9 \] 因此，随机变量 $-X - 2Y$ 的方差为 $\boxed{9}$。

解析

考查要点：本题主要考查方差的性质，特别是随机变量线性组合的方差计算。关键在于理解独立随机变量的方差叠加规则。

解题核心思路：
对于独立随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$和$b$，线性组合$aX + bY$的方差公式为：
$\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)$
注意：独立条件下，协方差项为零，因此无需考虑交叉项。

破题关键点：

  1. 识别线性组合的系数：题目中$-X -2Y$对应$a=-1$，$b=-2$。
  2. 代入方差公式：将系数平方后分别乘以对应方差，再相加。

根据方差的性质，对于独立随机变量$X$和$Y$，以及常数$a$和$b$，有：
$\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)$

步骤分解：

  1. 确定系数和方差：

    • $a = -1$，$\text{Var}(X) = 1$
    • $b = -2$，$\text{Var}(Y) = 2$

  2. 代入公式计算：
    $\text{Var}(-X -2Y) = (-1)^2 \cdot 1 + (-2)^2 \cdot 2$
    $= 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2$
    $= 1 + 8 = 9$