5.设总体X的数学期望为μ,方差为σ ^2,(x1,x2)是X的一个样本,则在下-|||-述的4个估计量中, () 是最优的.-|||-A、 (hat {mu )}_(1)=dfrac (1)(5)(X)_(1)+dfrac (4)(5)(X)_(2) B、 (hat {mu )}_(2)=dfrac (1)(8)(X)_(1)+dfrac (1)(4)(X)_(2)-|||-C、 (hat {mu )}_(3)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(2)(X)_(2) D、 (hat {mu )}_(4)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2)
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的有效性比较。需要判断各选项是否为无偏估计量，并在无偏估计量中选择方差最小的作为最优解。
解题核心思路：
- 验证无偏性：计算每个估计量的期望是否等于总体均值μ。
- 比较方差：在无偏估计量中，计算方差，方差最小的即为最优。
破题关键点：
- 无偏性条件：估计量的系数和必须为1。
- 方差计算：利用方差的线性性质，结合样本独立性求和。
1. 验证无偏性
-
选项A：$\hat{\mu}_1 = \dfrac{1}{5}X_1 + \dfrac{4}{5}X_2$
系数和为$\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1$，满足无偏性。 -
选项B：$\hat{\mu}_2 = \dfrac{1}{8}X_1 + \dfrac{1}{4}X_2$
系数和为$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8} \neq 1$，有偏，排除。 -
选项C：$\hat{\mu}_3 = \dfrac{1}{2}X_1 + \dfrac{1}{2}X_2$
系数和为$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$，满足无偏性。 -
选项D：$\hat{\mu}_4 = \dfrac{1}{2}X_1 + \dfrac{1}{3}X_2$
系数和为$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \neq 1$，有偏，排除。
结论：只有A和C是无偏估计量。
2. 比较方差
-
选项A：
$D(\hat{\mu}_1) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 \sigma^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \sigma^2 = \left(\dfrac{1}{25} + \dfrac{16}{25}\right)\sigma^2 = \dfrac{17}{25}\sigma^2.$ -
选项C：
$D(\hat{\mu}_3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \sigma^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \sigma^2 = \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\right)\sigma^2 = \dfrac{1}{2}\sigma^2.$
结论：$\dfrac{17}{25} \approx 0.68 > \dfrac{1}{2} = 0.5$，因此C的方差更小，更有效。