题目
9.(填空题，10.0分)测量某距离时，随机误差X~N(20,40²)(单位：cm)，则在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率为_____.(答案保留小数点后两位)第一空
9.(填空题，10.0分)
测量某距离时，随机误差X~N(20,40²)(单位：cm)，则在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率为_____.(答案保留小数点后两位)
第一空
题目解答
答案
设随机误差 $X \sim N(20, 40^2)$，求在3次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率。
首先，计算一次测量中误差绝对值不超过30cm的概率：
\[
P(|X| < 30) = P(-30 < X < 30)
\]
将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z = \frac{X - 20}{40}$，得：
\[
P(-30 < X < 30) = P\left(\frac{-30 - 20}{40} < Z < \frac{30 - 20}{40}\right) = P(-1.25 < Z < 0.25)
\]
查表得：
\[
\Phi(0.25) \approx 0.5987, \quad \Phi(-1.25) \approx 0.1056
\]
因此：
\[
P(-1.25 < Z < 0.25) = \Phi(0.25) - \Phi(-1.25) \approx 0.5987 - 0.1056 = 0.4931
\]
设 $p = P(|X| < 30) \approx 0.4931$，则3次测量中至少有一次误差绝对值不超过30cm的概率为：
\[
P = 1 - (1 - p)^3 \approx 1 - (1 - 0.4931)^3 \approx 1 - 0.5069^3 \approx 1 - 0.1306 \approx 0.87
\]
最终结果为：
\[
\boxed{0.87}
\]