设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取25位考生的成绩,算得平均成绩为=66分,标准差20分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分?并给出检验过程。(参考数据:,)

步骤 1：设定假设
- 零假设 ${H}_{0}:\mu =71$，即全体考生的平均成绩为71分。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \neq 71$，即全体考生的平均成绩不为71分。

步骤 2：计算检验统计量
- 使用t检验统计量，因为总体标准差未知，且样本量较小（n=25）。
- 计算公式为 $t=\dfrac {|\overline {x}-\mu|}{s/\sqrt {n}}$，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，$\mu$ 是假设的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。
- 代入已知数据：$\overline {x}=66$，$\mu=71$，$s=20$，$n=25$。
- 计算得 $t=\dfrac {|66-71|}{20/\sqrt {25}}=\dfrac {5}{20/5}=\dfrac {5}{4}=1.25$。

步骤 3：比较检验统计量与临界值
- 查t分布表，自由度df=n-1=24，显著性水平$\alpha=0.05$，双侧检验，查得临界值$t_{\frac {\alpha}{2},df}=t_{0.025,24}=2.0639$。
- 比较计算得到的t值与临界值，$t=1.25<2.0639$。

步骤 4：做出决策
- 因为计算得到的t值小于临界值，所以不拒绝零假设${H}_{0}$。
- 结论是在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分。