题目
下述论证意味着每一个对称的和传递的关系是一等价关系设，R 是一对称的和传递的关系. （i）因为R是对称的如果⟨x，y⟩∈R那么⟨y，x⟩∈R（ii）因为R是传递的如果⟨x，y⟩∈R∧⟨y，x⟩∈R，那么（x，x）∈R，所以R是自反的，得出R是一等价关系。这个论证有什么错误？
下述论证意味着每一个对称的和传递的关系是一等价关系设，R 是一对称的和传递的关系.
（i）因为R是对称的如果⟨x，y⟩∈R那么⟨y，x⟩∈R
（ii）因为R是传递的如果⟨x，y⟩∈R∧⟨y，x⟩∈R，那么
（x，x）∈R，所以R是自反的，得出R是一等价关系。
这个论证有什么错误？
题目解答
答案
这个论证存在错误。虽然 (i) 和 (ii) 声明了 R 是对称的、传递的和自反的，但是它们并没有证明 R 是传递的。
实际上，如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，那么根据 (i) ，⟨z，y⟩∈R 且 ⟨y，x⟩∈R。因为 R 是传递的，我们可以得到 ⟨z，x⟩∈R。因此，R 是传递的。
证明 R 是传递的需要使用三元组的形式，公式为：
如果 R 是传递的，则对于任意的 x、y、z，如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，则 ⟨x，z⟩∈R。
而等价关系的定义是必须同时满足自反、对称和传递三个性质，因此 R 必须满足自反性。因此，整个论证需要证明 R 满足自反、对称和传递三个性质。
解析
步骤 1：理解等价关系的定义
等价关系需要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。自反性是指对于所有元素 x，有 ⟨x，x⟩∈R；对称性是指如果 ⟨x，y⟩∈R，那么 ⟨y，x⟩∈R；传递性是指如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，那么 ⟨x，z⟩∈R。
步骤 2：分析论证中的错误
论证中提到，因为 R 是对称的，所以如果 ⟨x，y⟩∈R，那么 ⟨y，x⟩∈R。这是对称性的正确描述。接着，论证提到，因为 R 是传递的，如果 ⟨x，y⟩∈R ∧ ⟨y，x⟩∈R，那么 ⟨x，x⟩∈R。这实际上是利用了对称性和传递性来推导出自反性。然而，传递性的定义是如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，那么 ⟨x，z⟩∈R，而不是 ⟨x，y⟩∈R ∧ ⟨y，x⟩∈R 导致 ⟨x，x⟩∈R。因此，论证中的传递性应用是错误的。
步骤 3：总结论证的错误
论证错误在于它错误地使用了传递性来证明自反性。传递性不能直接证明自反性，因为传递性涉及三个元素，而自反性只涉及一个元素。因此，论证没有正确地证明 R 是自反的，从而不能得出 R 是等价关系的结论。
等价关系需要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。自反性是指对于所有元素 x，有 ⟨x，x⟩∈R；对称性是指如果 ⟨x，y⟩∈R，那么 ⟨y，x⟩∈R；传递性是指如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，那么 ⟨x，z⟩∈R。
步骤 2：分析论证中的错误
论证中提到，因为 R 是对称的，所以如果 ⟨x，y⟩∈R，那么 ⟨y，x⟩∈R。这是对称性的正确描述。接着，论证提到，因为 R 是传递的，如果 ⟨x，y⟩∈R ∧ ⟨y，x⟩∈R，那么 ⟨x，x⟩∈R。这实际上是利用了对称性和传递性来推导出自反性。然而，传递性的定义是如果 ⟨x，y⟩∈R 且 ⟨y，z⟩∈R，那么 ⟨x，z⟩∈R，而不是 ⟨x，y⟩∈R ∧ ⟨y，x⟩∈R 导致 ⟨x，x⟩∈R。因此，论证中的传递性应用是错误的。
步骤 3：总结论证的错误
论证错误在于它错误地使用了传递性来证明自反性。传递性不能直接证明自反性，因为传递性涉及三个元素，而自反性只涉及一个元素。因此，论证没有正确地证明 R 是自反的，从而不能得出 R 是等价关系的结论。