某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无可以区别的标志（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，请分析此次品出自何厂的可能性最大，并说明理由．

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 第（1）问：计算随机取一只元件是次品的概率，需将各厂提供的元件份额（先验概率）与其对应的次品率相乘后求和，即全概率公式。
2. 第（2）问：已知取到次品，求其来自各厂的可能性，需通过贝叶斯定理计算后验概率，比较各厂的后验概率大小。

破题关键点：

• 明确事件关系：各厂提供的元件份额互斥且穷尽所有可能。
• 正确应用公式：第（1）问用全概率公式求总次品率，第（2）问用贝叶斯定理求后验概率。

第（1）题

设事件$A$为“取到次品”，根据全概率公式：
$P(A) = \sum_{i=1}^{3} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
其中：

• $P(B_1)=0.15$，$P(A|B_1)=0.02$
• $P(B_2)=0.80$，$P(A|B_2)=0.01$
• $P(B_3)=0.05$，$P(A|B_3)=0.03$

代入计算：
$P(A) = 0.15 \times 0.02 + 0.80 \times 0.01 + 0.05 \times 0.03 = 0.0125$

第（2）题

设$B_i$为“元件来自第$i$家厂”，根据贝叶斯定理：
$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$
计算各厂后验概率：

• 厂1：
  $P(B_1|A) = \frac{0.15 \times 0.02}{0.0125} = 0.24$
• 厂2：
  $P(B_2|A) = \frac{0.80 \times 0.01}{0.0125} = 0.64$
• 厂3：
  $P(B_3|A) = \frac{0.05 \times 0.03}{0.0125} = 0.12$

比较结果，厂2的后验概率最大，因此次品最可能来自厂2。