题目
对任意两个随机变量X和Y，若D(X-Y)=D(X)+D(Y)，则（）A.X和Y相关B.X和Y不相关C.X和Y独立D.X和Y不独立
对任意两个随机变量X和Y，若
，则（）
A.X和Y相关
B.X和Y不相关
C.X和Y独立
D.X和Y不独立
题目解答
答案
，则X与Y的协方差为
，则X与Y的相关系数为
，则X与Y不相关，因此选择B。
解析
步骤 1：理解方差公式
方差的性质之一是：$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。
步骤 2：应用方差公式
根据题目条件$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$，代入方差公式得到$D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$。
步骤 3：简化方程
从上述方程中可以得到$-2Cov(X,Y)=0$，即$Cov(X,Y)=0$。
步骤 4：分析协方差为0的含义
当$Cov(X,Y)=0$时，X和Y不相关。注意，不相关并不意味着独立，独立是更强的条件。
方差的性质之一是：$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。
步骤 2：应用方差公式
根据题目条件$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$，代入方差公式得到$D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$。
步骤 3：简化方程
从上述方程中可以得到$-2Cov(X,Y)=0$，即$Cov(X,Y)=0$。
步骤 4：分析协方差为0的含义
当$Cov(X,Y)=0$时，X和Y不相关。注意，不相关并不意味着独立，独立是更强的条件。